Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Общее правило здесь такое: при умножении 142 857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [30] Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999 999, умноженному на число семерок в множителе; такое умножение легко выполнить в уме. Например, 142 857 х 28 = 999 999 х 4 = 4 000 000 — 4 = 3 999 996. . Пусть мы желаем умножить 142 857 на 88. Множитель 88 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения таков:

12 571 428 — 12 = 12 571 416.

От умножения 142 857 на 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52 142 857 — 52 = 52 142 805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно, нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносным умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, заметим, что оно произошло от 1/ 7, или, что то же самое, от 2/ 14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 999:

999 — 142857= 857

Мы уже имели дело с такими числами — именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142 857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142 857 = 143 х 999.

Но 143 = 13 х 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 х 11 х 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно получиться от умножения 142 857 х 7:

142 857 х 7 = 143 х 999 х 7 = 999 х 11 х 13 х 7 = 999 х 1001 = 999 999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Чисел, подобных тому, с которым мы познакомились, существует множество. Они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением — от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

1/ 7дает в периоде 6 цифр

1/ 17 -""- 16

1/ 19 -""- 18

1/ 23 -""- 22

1/ 29 -""- 28

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/ 17, 1/ 19, 1/ 23и 1/ 29в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренный нами период дроби 1/ 7.

Например, от 1/ 29получаем число

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931.

Если указанное сейчас условие (относительно чисел цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/ 13дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1/ 13= 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

2/ 13= 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1:13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, то-есть 6; различных же множителей для дроби 1/ 13у нас 12; следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4, 9, 10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076 923 х 3 = 230 769), на остальные — нет. Вот почему от 1/ 13получается число, лишь отчасти пригодное для "магического кольца". То же надо сказать и о ряде других периодов.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

24 3/ 6+ 75 9/ 18 = 100

47 3/ 6+ 52 9/ 18= 100

74 3/ 6+ 25 9/ 18= 100

95 3/ 7+ 4 16/ 28= 100

98 3/ 6+ 1 27/ 54= 100

94 1/ 2+ 5 38/ 76= 100

1 6/ 7+ 3 + 95 4/ 28 = 100

57 3/ 6+ 42 9/ 18= 100

Каждая сумма состоит только из девяти разных цифр.

Арифметические фокусы — честные, добросовестные фокусы. Здесь не стремятся обмануть, не стараются усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить арифметический фокус, не нужны ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие-либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений.

Весь секрет арифметического фокуса состоит в тщательном изучении и использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями. Кто знает разгадку такого фокуса, тому все представляется простым и ясным; а для не знающего арифметики и самое обычное действие кажется уже чем-то вроде фокуса.

Было время, когда уменье выполнять даже обыкновенные арифметические действия над большими числами, знакомое теперь каждому школьнику, составляло искусство лишь немногих и казалось остальным какой-то сверхъестественной способностью. В древнеиндусской повести "Наль и Дамаянти" [31] Русский перевод (вольный) Жуковского. Эпизод, о котором далее идет речь, описан в главе VIII этой повести. находим отголосок такого взгляда на арифметические действия. Наль, умевший превосходно править лошадьми, вез однажды счетчика-виртуоза Ритуперна мимо развесистого дерева — Вибитаки.

"Вдруг он увидел вдали Вибитаку — ветвисто-густою Сенью покрытое дерево. "Слушай, Вагука, — сказал он:

— Здесь на земле никто не имеет всезнанья; в искусстве Править конями ты первый; зато мне далося искусство Счета…"

И в доказательство своего искусства счетчик мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну его искусства, и тот соглашается.

"…Лишь только Вымолвил слово свое Ритуперн, как у Наля открылись Очи и он все ветви, плоды и листы Вибитаки Разом мог перечесть…"

Секрет искусства состоял, как можно догадаться, в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножением этого числа на число веток каждого сука и далее — на число сучьев дерева (предполагая, что все сучья одинаково обросли ветками, а ветки — листьями).

Разгадка большинства арифметических фокусов столь же проста, как и секрет "фокуса" Ритуперна. Стоит лишь узнать, в чем секрет фокуса, и вы сразу овладеваете искусством его выполнять, как овладел легендарный Наль изумительным искусством быстрого

счета. В основе каждого арифметического фокуса лежит какая-нибудь интересная особенность чисел, и потому знакомство с подобными фокусами не менее поучительно, чем занимательно.

Фокусник высыпает на стол кучу монет на сумму 3 руб. и предлагает вам задачу: разложить деньги по 9 кошелькам так, чтобы можно было уплатить любую сумму до 3 руб., не открывая кошельков.

Это может показаться совершенно невыполнимым. Не думайте, однако, что фокусник расставил вам ловушку из игры слов или неожиданного их толкования. Посмотрите: фокусник сам берется за дело. Разложив монеты по кошелькам и привязав к каждому ярлычок с обозначением вложенной суммы, он предлагает вам назначить любую сумму не выше 3 руб.