Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо четырех множителей 3 х 7 х 13 х 37 можете взять следующие группы трех множителей: 21 х 13 х 37; 7 х 39 х 37; 3 х 91 х 37; 7 х 13 х 111.

Число это — 10 101,—пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет назад в "Арифметике" Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения "с некоим удивлением". С тем большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.

С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, не столь эффектные. Дело в том, что оно представляет собой произведение только двух простых чисел:

10 001 = 73 х 137.

Как воспользоваться этим для выполнения арифметических действий "с удивлением", читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадается сам.

В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры — число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что

111 111 = 111 х 1001.

Но 111 = 3 х 37, а 1001 = 7 х 11 х 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен [28] Феномен — редкое явление, выходящее за пределы обычного или нормы. , состоящий из одних лишь единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число — 111 111:

3 х (7 х 11 х 13 х 37) = 3 х 37 037= 111 111

7 х (3 х 11 х 13 х 37) = 7 х 15873 = 111 111

11 х (3 х 7 х 13 х 37) = 11 х 10 101 = 111 111

13 х (3 х 7 х 11 х 37)= 13 х 8547 = 111 111

37 х (3 х 7 х 11 х 13) = 37 х 3003 = 111 111

(3 х 7) х (11 х 13 х 37) = 21 х 5291 = 111 111

(3 х 11) х (7 х 13 х 37) = 33 х 3367 = 111 111 и т. д.

Вы можете, значит, засадить 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111 111.

То же число, 111 111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10 101. В данном случае нужно предлагать задумать число однозначное , то-есть одну цифру, и повторить ее 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.

На примере числа 111 111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.

Из первых 17 чисел этого рода только два наименьшие—1 и 11—простые, остальные — составные. Вот как разлагаются на простые множители первые десять из составных чисел этого начертания:

111 = 3 х 37

1111 = 11 х 101

11111 = 41 х 271

111111 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37

1111111 = 239 х 4649

11111111 = 11 х 73 х 101 х 137

111111111 = 9 х 37 х 333 667

1111111111 = 11 х 41 х 271 х 9091

11111111111 = 21 649 х 513 289

111111111111 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37 х 101 = 9901

Не все приведенные здесь числа удобно использовать для отгадывания; в некоторых случаях выполнение фокуса возложило бы на загадчика чересчур обременительную работу. Но числа из 3, из 4, из 5, из 6, из 8, из 9, из 12 единиц более или менее пригодны для этой цели. Образчики использования их для отгадывания будут даны в конце следующей главы.

В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода — некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из них:

1 х 9 + 2 = 11

12 х 9 + 3 = 111

123 х 9 + 4 = 1111

1234 х 9 + 5 = 11111

12345 х 9 + 6 = 111111

123456 х 9 + 7 = 1111111

1234567 х 9 + 8 = 11111111

12345678 х 9 + 9 = 111111111

Как объяснить эти своеобразные результаты умножения?

Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды: 123456 х 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 — 1), то-есть приписать 0 и вычесть умножаемое:

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.

Мы можем уяснить себе это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12 345… превратилось в число вида 11 111…, нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей — 2, из четвертой — 3, из пятой — 4 и т. д. — иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12 345…, вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (а умножить на 10 и отнять множимое — значит умножить на 9).

Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр:

1 х 8 + 1 = 9

12 х 8 + 2 = 98

123 х 8 + 3 = 987

1234 х 8 + 4 = 9876

12345 х 8 + 5 = 98765

123456 х 8 + 6 = 987654

1234567 х 8 + 7 = 9876543

12345678 х 8 + 8 = 98765432

123456789 х 8 + 9 = 987654321

Особенно интересна в пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение натурального ряда цифр в таковой же ряд, но с обратным расположением. Объясним эту особенность.

Получение странных результатов уясняется из следующей строки:

1 Почему 12345 х 9 + 6 дает именно 111111, было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.

то-есть 12345 х 8 + 5 = 111111 — 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр: 98 765.

Вот наконец третья числовая пирамида, также требующая объяснения:

9 х 9 + 7 = 88

98 х 9 + 6 = 888

987 х 9 + 5 = 8888

9876 х 9 + 4 = 88888

98765 х 9 + 3 = 888888

987654 х 9 + 2 = 8888888

9876543 х 9 + 1 = 88888888

98765432 х 9 + 0 = 888888888

Эта пирамида является прямым следствием первых двух. Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:

12345 х 9 + 6 = 111111.

Умножив обе части на 8, имеем:

(12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = 888888

Но из второй пирамиды известно, что

12345 х 8 + 5 = 98765, или 12345 х 8 = 98760.

Значит:

888888 = (12 345 х 8 х 9) + (6 х 8) = (98 760 х 9) + 48 = (98760 х 9) + (5 х 9) + 3 = (98 760 + 5) х 9 + 3 = 98765 х 9 + 3.

Вы убеждаетесь, что все эти числовые пирамиды не так уж загадочны, как кажутся с первого взгляда.

Конечная строка первой из только что (см. стр. 85) рассмотренных пирамид

12 345 678 х 9 + 9 = 111 111 111

представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:

12345679 х 9 = 111111111

12345679 х 18 = 222222222