Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Вы называете, например, 2 руб. 69 коп.

Без малейшего промедления фокусник отбирает и подает вам 4 кошелька. Вы открываете их и находите:

в одном… — руб. 64 коп.

в другом… — руб. 45 коп.

в третьем… 1 руб. 28 коп.

в четвертом… — руб. 32 коп.

Итого… 2 руб. 69 коп.

Вы готовы заподозрить фокусника в ловкой подмене кошельков и требуете повторения фокуса. Он пододвигает все кошельки к вам, и когда вы называете новую сумму — например, 1 руб., или 7 коп., или 2 руб. 93 коп., — немедленно указывает, какие из лежащих кошельков должны вы взять, чтобы составилась назначенная вами сумма. А именно:

Для 1 руб. — 6 кошельков (32 коп., 1 коп., 45 коп., 16 коп., 2 коп., 4 коп.).

Для 7 коп. — 3 кошелька (1 коп., 2 коп., 4 коп.). Для 2 р. 93 к. — 6 кошельков (128 коп., 32 коп., 8 коп., 45 коп., 64 коп., 16 коп.).

Фокус с 9 кошельками.

Кошельки, по приказу фокусника, оказывается, всегда готовы составить любую названную сумму (до 3 руб.).

Чем это объяснить?

Секрет кроется в том, чтобы разложить монеты следующим образом: 1 коп., 2 коп., 4 коп., 8 коп., 16 коп., 32 коп., 64 коп. и 128 коп. и, наконец, в последний— остальные деньги, то-есть

300 — (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) = 300 – 255 = 45 (коп.).

Из первых 8 кошельков возможно, как нетрудно убедиться, составить любую сумму от 1 до 255 коп.; если же задается сумма большая, то пускают в дело последний кошелек, с 45 коп., а разницу составляют из первых 8 кошельков.

Вы можете проверить пригодность такой группировки чисел многочисленными пробами и убедиться, что из них можно действительно составить всякое число, не превышающее 300.

Но вас, вероятно, интересует и то, почему собственно ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. обладает столь замечательным свойством. Это нетрудно понять, если вспомнить, что числа нашего ряда представляют степени 2: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4и т. д. [32] Проходившие алгебру знают, что число 1 можно рассматривать, как 2 в нулевой степени. и, следовательно, их можно рассматривать как разряды двоичной системы счисления. А так как всякое число можно написать по двоичной системе, то, значит, и всякое число возможно составить из суммы степеней 2 , то-есть из чисел ряда 1, 2, 4, 8, 16 и т. д. И когда вы подбираете кошельки, чтобы составить из их содержимого заданное число, вы, в сущности, выражаете заданное число в двоичной системе счисления. Например, число 100 легко составить, если изобразить его в двоичной системе:

Напомним, что в двоичной системе на первом месте справа стоят единицы, на втором — двойки, на третьем — четверки, на четвертом — восьмерки и т. д.

Свойством двоичной системы можно воспользоваться и для следующего фокуса. Вы предлагаете кому-нибудь взять неполный коробок со спичками, положить на стол, а рядом положить семь бумажных квадратиков. Затем просите в вашем отсутствии проделать следующее: оставив половину спичек в коробке, перенести другую половину на ближайшую бумажку; если число спичек нечетное, то излишнюю спичку положить рядом с бумажкой, налево от нее. Спички, очутившиеся на бумажке, надо (не трогая лежащей рядом) разделить на две равные части: одну половину положить в коробку, другую — переложить на следующую бумажку; в случае нечетного числа остающуюся спичку положить рядом со второй бумажкой. Далее надо поступать таким же образом, возвращая всякий раз половину спичек обратно в коробку, а другую половину перекладывая на следующую бумажку, не забывая при нечетном числе спичек класть одну спичку рядом.

В конце концов все спички, кроме одиночных, лежащих рядом с бумажками, возвратятся в коробок (см. рисунок).

Отгадывание числа спичек: последовательные действия загадывающего.

Когда это сделано, вы являетесь в комнату и, бросив взгляд на пустые бумажки, называете число спичек во взятой коробке.

Как можно по пустым бумажкам и случайным единичным спичкам догадаться о первоначальном числе спичек в коробке?

Эти пустые бумажки в данном случае очень красноречивы: по ним и по одиночным спичкам можно буквально прочесть искомое число, потому что оно написано на столе — в двоичной системе счисления. Поясним это на примере.

Пусть число спичек было 66. Последовательные операции с ними и окончательный вид бумажек показаны на схемах рисунков.

Продолжение фокуса: окончательный вид бумажек.

Нетрудно сообразить, что проделанные со спичками операции, в сущности, те же самые, какие мы выполнили бы, если бы хотели выразить число спичек в коробке по двоичной системе счисления; окончательная же схема прямо изобразит это число в двоичной системе, если пустые бумажки принять за ноли, а бумажки, отмеченные сбоку спичкой, — за единицы. Читая схему слева направо, получаем:

в десятичной же системе: 64 + 2 = 66.

Если бы было 57 спичек, мы имели бы иные схемы, показанные на следующих рисунках.

Случай отгадывания с другим использованным числом: начало фокуса.

Конец фокуса.

Искомое число, написанное по двоичной системе:

а в десятичной: 32 + 16 + 8 + 1 = 57.

Третье видоизменение того же фокуса представляет собой своеобразный способ отгадывания задуманного числа по спичкам. Загадавший должен мысленно делить задуманное число пополам, полученную половину — опять пополам и т. д. (от нечетного числа отбрасывая единицу), и при каждом делении класть перед собой спичку, направленную вдоль стола, если делится число четное, и поперек , если приходится делить нечетное. К концу операции получается фигура вроде показанной на рисунке.

Отгадывание задуманного числа по спичкам: что делает загадывающий.

Вы всматриваетесь в эту фигуру и безошибочно называете задуманное число: 137.

Как вы узнаете его?

Способ станет ясен сам собой, если в выбранном примере (137) последовательно обозначить возле каждой спички то число, при делении которого она была положена (см. рисунок).

Секрет фокуса: что делает отгадчик.

Теперь понятно, что последняя спичка во всех случаях означает число 1, и не составляет труда, восходя от нее к предшествующим делениям, добраться до первоначально задуманного числа. Например, по фигуре рисунка вы можете вычислить, что задумано было число 664. В самом деле, выполняя последовательно удвоения (начиная с конца) и не забывая прибавлять, где надо, единицу, получаем задуманное (см. рисунок).

Какое число здесь изображено?

Таким образом, пользуясь спичками, вы прослеживаете ход чужих мыслей, восстанавливаете всю цепь выкладок.

Тот же результат мы можем получить иначе, сообразив, что лежащая спичка должна соответствовать в двоичной системе нолю (деление на 2 без остатка), а стоящая — единице.

Ответ на вопрос предыдущего рисунка.