Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Десятичная система счисления родилась из счета по пальцам. Римская цифра V напоминает руку с отставленным большим пальцем.

Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собой длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галерее числовых диковинок. Зато его соседка — "чортова дюжина", 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь "страшным" для суеверных людей?

Как было распространено это суеверие (зародившееся в древнем Вавилоне), видно из того, что царское правительство при устройстве электрического трамвая в Петербурге долго не решалось вводить маршрута № 13 и пропустило его, перейдя сразу на № 14: власти думали, что публика не станет ездить в вагонах с таким "роковым" номером. Любопытно и то, что в Петербурге было не мало домов, где 13-й номер квартиры пропущен… В гостинице также нередко отсутствовала комната № 13, заменяемая № 12а. Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием кое-где на Западе (например, в Англии) учреждались даже особые "клубы числа 13"…

В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед нами

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365 = 10 х 10 + 11 х 11 + 12 х 12,

то-есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10:

10 2 + 11 2 + 12 2 = 100 + 121 + 144 = 365.

Но и это еще не всё — тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14:

13 2 + 14 2 = 169 + 196 = 365.

На этом свойстве числа 365 основана задача С. А. Рачинского, изображенная на известной картине "Трудная задача" Богданова-Бельского:

(10 2+ 11 2+ 12 2+ 13 2+ 14 2)/365

Таких чисел не много наберется в нашей галерее арифметических диковинок.

В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение; первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры — "дополнения" первых до 9. Например:

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

Зная эту особенность, мы можем "мгновенно" умножать любое трехзначное число на 999.

947 х 999 = 946 053,

509 х 999 = 508 491,

981 х 999 = 980 019 и т. д.

А так как 999 = 9 х 111 = 3 х 3 х 3 х 37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37; незнакомый со свойствами числа 999, конечно, сделать этого не в состоянии. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы "мгновенного умножения и деления".

Следующее на очереди у нас число 1001 —прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.

Чем же замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых "простых" чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 — на Три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001 = 7 х 11 х 13,—здесь нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, например:

873 х 1001 = 873 873,

207 х 1001 = 207 207 и т. д.

И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 X 1001 = 873 х 1000 + 873 = 873 000 + 873, — все же, пользуясь указанным свойством "числа Шехеразады", можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, — по крайней мере, человеку неподготовленному.

Сейчас поясним, в чем дело.

Товарищей, не посвященных в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке секретно от вас трехзначное число, какое хочет, и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить, секретно от вас, это число на 7; при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат передается новому соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13,— деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:

— Вот число, которое ты задумал!

— Так и есть: ты угадал.

Какова разгадка фокуса?

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само — значит умножить его на 1001, то-есть на произведение 7 х 11 х 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13; а в результате деления последовательно на эти три числа (то-есть на их произведение — 1001) оно должно, конечно, снова дать задуманное число.

После сказанного о числе 1001 уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству обязано это число такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных чисел, а двузначных ; каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:

73 х 10 101 = 737 373,

21 х 10 101 = 212 121.

Причина уясняется из следующей строки:

Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001?

Да, можно. Здесь возможно даже обставить фокус разнообразнее, если иметь в виду, что 10 101 есть произведение четырех простых чисел:

10 101 = 3 х 7 х 13 х 37.

Предложив товарищу задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему — приписать то же число еще раз. Четвертого вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый товарищ должен разделить полученное частное на 3; шестой делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, причем все четыре деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому товарищу: это и есть задуманное им число.