Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Итак, при выкладках с приближенными числами надо принимать во внимание не все цифры результата, а только некоторые. Остановимся на том, как надо округлять числа.

Округление числа при выкладках состоит в том, что одну или несколько цифр на его конце заменяют нолями. Так как ноли, стоящие после запятой, не имеют значения, то их отбрасывают вовсе. Например:

числа округляют в

3734… 3730 или 3700

5,314… 5,31 или 5,3

0,00731… 0,0073 или 0,007

Если первая из отбрасываемых при округлении цифр есть 6 или больше, то предыдущую увеличивают на единицу. Например:

числа округляют в

4867… 4870 или 4900

5989… 5990 или 6000

3,666… 3,67 или 3,7

Так же поступают, если отбрасывается цифра 5 с последующими за нею значащими цифрами. Например:

числа округляют в

4552… 4600

38,1506… 38,2

Но если отбрасывается только цифра 5, то увеличивать на единицу предшествующую цифру условились лишь тогда, когда она нечетная ; четную же цифру оставлять без изменения. Например:

числа округляют в

735… 740

8645… 8640

37,65… 37,6

0,0275… 0,028

70,5 … 70 [42] Ноль рассматривают как четную цифру.

При обработке результатов действий над приближенными числами руководствуются теми же правилами округления.

Под значащими цифрами в учении о приближенных вычислениях разумеют все цифры, кроме ноля, а также и ноль в том случае, если он стоит между другими значащими цифрами. Так, в числах 3700 и 0,0062 все ноли— незначащие цифры; в числах же 105 и 2006 ноли — значащие. В числе 0,0708 первые два ноля — незначащие, третий же ноль — значащая цифра.

В некоторых случаях значащий ноль может находиться и в конце числа; округляя, например, число 2,540002, мы получаем число 2,54000, в котором все ноли на конце — значащие, так как указывают на заведомое отсутствие единиц в соответствующих разрядах. Поэтому, если в условии задачи или в таблице мы встречаем числа 4,0 или 0,80, то должны рассматривать их как двузначные. Округляя число 289,9 в 290, мы также получаем на конце значащий ноль.

Результат сложения или вычитания приближенных чисел не должен оканчиваться значащими цифрами в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из данных чисел. Если такие цифры получились, их следует отбросить посредством округления.

Нетрудно понять основание этого правила. Пусть требуется к 3400 м прибавить 275 м. В числе 3400 мерщик, очевидно, пренебрег десятками метров; ясно, что, прибавив к этому числу 7 десятков метров и еще 5 м, мы получим в сумме не 3675 м, а, скорее всего, результат с иными цифрами на месте десятков и единиц. Поэтому на месте десятков и единиц мы пишем в сумме ноли, которые в данном случае указывают, что вычислителю неизвестно, какие именно цифры должны здесь стоять.

Результат умножения, а также деления приближенных чисел не должен заключать больше значащих цифр, чем имеется их в более коротком данном (из двух чисел то "короче", которое содержит меньше значащих цифр). Лишние цифры заменяют нолями.

При подсчете числа цифр не обращают на запятую внимания: так, 4,57 есть число трехзначное и т. п.

Число значащих цифр степени приближенного числа не должно превышать числа их в основании степени. Излишние цифры заменяются нолями.

Примеры:

157 2= 24 600 (а не 24 649);

5,81 3= 196 (а не 196,122941).

Правила эти относятся лишь к результатам окончательным. Если же выполняемым действием расчет еще не заканчивается, то в результате такого промежуточного действия удерживают одной значащей цифрой больше, чем требуют правила. Выполняя, например, вычисление

(36 х 1,4)/3,4,

поступают так:

36 х 1,4 = 50,4 (удерживают не две, а три цифры);

50,4:3,4 = 15.

При несложных технических расчетах указанные выше правила могут быть почти во всех случаях применяемы следующим упрощенным образом. Прежде чем вычислять, устанавливают по числу цифр самого короткого данного, сколько достоверных цифр может заключать окончательный результат. Когда это установлено, приступают к выкладкам; причем во всех промежуточных выкладках удерживают одной цифрой больше, чем установлено для окончательного результата.

Если, например, в условии задачи дано несколько трехзначных чисел и одно двузначное, то окончательный результат будет иметь две достоверные цифры, а промежуточные результаты надо брать с тремя цифрами.

Итак, все правила приближенных вычислений могут быть при выполнении расчетов сведены к двум следующим:

1) устанавливают, сколько значащих цифр в самом коротком из данных задачи: столько же значащих цифр нужно будет удержать в окончательном результате;

2) в результате всех промежуточных вычислений удерживают одной цифрой больше , чем установлено для окончательного результата [43] Подробнее о приближенных вычислениях см. брошюру Я. И. Перельмана "Таблицы и правила для вычислений". .

Прочие цифры во всех случаях заменяют нолями или отбрасывают по правилам округления.

Правила эти неприменимы к тем задачам (встречающимся редко), для решения которых нужно производить только действия сложения и вычитания. В таких случаях придерживаются другого правила.

Окончательный результат не должен иметь значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. В промежуточных результатах надо удерживать одной значащей цифрой больше, чем установлено для окончательного. От прочих цифр освобождаются округлением.

Если, например, данные задачи таковы:

37,5 м, 185,64 м, 0,6725 м

и для решения требуется вычесть первое число из суммы других, то в сумме

как в промежуточном результате, откидывают последнюю цифру (то-есть берут 186,312), а в разности

как в результате окончательном , удерживаем лишь 148,8.

Как оценить, сколько вычислительной работы сберегаем мы, пользуясь изложенными сейчас приемами? Для этого надо какой-нибудь сложный расчет выполнить двояко: один раз — по обычным арифметическим правилам, другой — приближенно. А затем терпеливо подсчитать, сколько раз при том и другом подсчете приходилось нам складывать, вычитать и умножать отдельные цифры. Окажется, что приближенный расчет потребует таких элементарных операций в 2 1/ 2раза меньше, чем "точный". Ущерба же для правильности результата в приближенном расчете нет никакого.

Итак, приближенные вычисления требуют примерно в 2 1/ 2раза меньше времени, нежели вычисление по обычным правилам. Но это еще не все сбережение времени, какое при этом достигается. Ведь каждая лишняя счетная операция, каждый лишний случай сложения, вычитания или умножения цифр является лишним поводом сделать ошибку. Вероятность ошибиться при приближенных выкладках в 2 1/ 2раза меньше, чем при "точных". А стоит хоть раз ошибиться — и вычисление придется переделать заново, если не все целиком, то часть его. Значит, сбережение труда и времени при приближенных расчетах получается во всяком случае больше, чем в 2 1/ 2раза. Время, затраченное на ознакомление с ними, вознаграждается очень быстро и щедро.