Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

Умножение = вычитанию.

1 х 1/ 2= 1 — 1/ 2

6 х 6/ 7= 6 — 6/ 7

1/ 2х 1/ 3= 1/ 2— 1/ 3

1/ 3х 1/ 4= 1/ 3— 1/ 4

Для тех, кто не отдает себе достаточно ясного отчета в огромности миллиона и миллиарда, остаются не вполне осознанными колоссальные достижения нашего социалистического строительства, выражающиеся миллионными и миллиардными числами.

Чтобы ощутить грандиозность подобных чисел, стоит затратить немного времени на "арифметическую гимнастику", развивающую способность правильно оценивать подлинные размеры больших чисел.

Начнем с миллиона — старейшего числового великана (наименование миллион впервые появилось в 1500 году в Италии).

Если хотите ощутить истинные размеры миллиона, попробуйте хотя бы проставить в чистой тетради миллион точек . Я не предлагаю вам доводить такую работу до конца (едва ли у кого на это хватит терпения); уже одно начало работы, медленный ее ход дадут вам почувствовать, что такое "настоящий" миллион"

Здесь я предлагаю доступный для каждого способ развить в себе возможно отчетливое представление о величине миллиона. Для этого нужно дать себе труд поупражняться в мысленном миллионном счете мелких, но хорошо знакомых нам единиц — шагов, минут, спичек, стаканов и т. п. Результаты получаются нередко неожиданные и поразительные.

Приведем несколько примеров.

Сколько времени отняла бы у вас работа — пересчитать миллион каких-либо предметов, по одному в каждую секунду?

Оказывается, что, считая безостановочно по 10 часов в сутки, вы закончили бы подсчет в месяц времени! Приблизительно удостовериться в этом нетрудно устным вычислением: в часе 3600 секунд, в 10 часах — 36000; в трое суток вы, следовательно, пересчитаете всего около 100 000 предметов; а так как миллион в 10 раз больше, то, чтобы досчитать до него, понадобится 30 дней [44] Отметим, для сведения, что в году (астрономическом) 31 558 150 секунд; миллион секунд в точности равен 11 суткам 13 часам 46 минутам 40 секундам. .

Отсюда следует, между прочим, что предложенная ранее работа — поставить в тетради миллион точек — потребовала бы многих недель самого усердного и неустанного труда.

Тонкость волоса вошла чуть не в поговорку. Все часто видят волос и хорошо знают, насколько он тонок.

Толщина человеческого волоса — около 0,07 мм. Мы округлим ее для удобства вычислений до 0,1 мм. Представьте себе, что рядом, бок о бок, положен миллион волос. Какой ширины получилась бы полоса? Можно ли было бы, например, протянуть ее поперек двери от косяка до косяка?

Автомобиль "Победа" (справа внизу) перед отрезком человеческого волоса, увеличенного в миллион раз.

Если вы никогда не задумывались над такой задачей, то можно поручиться, что, не проделав вычисления, вы дадите грубо ошибочный ответ. Вы будете, пожалуй, даже оспаривать правильный ответ — настолько покажется он неправдоподобным. Каков же он?

Оказывается, что волос, увеличенный по толщине в миллион раз, имел бы около сотни метров в поперечнике! Это кажется невероятным, но дайте себе труд сделать подсчет, и вы убедитесь, что так и есть:

0,1 мм х 1000000 = 0,1 м х 1000 = 0,1 км = 100 м [45] Мы проделали здесь умножение следующим путем: вместо умножения числа, мы дважды заменили самую единицу меры другой, в тысячу раз большей. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами. .

Проделайте — лучше всего устно — еще ряд упражнений, чтобы освоиться надлежащим образом с величиной миллиона.

1. Величина обыкновенной комнатной мухи общеизвестна— около 7 мм в длину. Но какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз?

Решение.

Умножим 7 мм на 1 000 000, получим 7 км — примерно ширина Москвы или Ленинграда. Значит, муха, увеличенная линейно в миллион раз, могла бы покрыть своим телом столичный город!

2. Увеличьте мысленно в миллион раз (по ширине) ваши карманные часы — и получите снова поражающий результат; едва ли вам удастся предугадать его без расчета. Какой?

Решение.

Часы имели бы в ширину километров 50, а каждая цифра простиралась бы на географическую милю (7 км).

3. Какого роста достигал бы человек, увеличенный в миллион раз?

Решение.

1700 километров! Он был бы всего в 8 раз меньше поперечника земного шара. Буквально одним шагом мог бы он перешагнуть из Ленинграда в Москву, а если бы лег, то растянулся бы от Финского залива до Крыма…

Приведу еще несколько готовых подсчетов того же рода, предоставляя проверку их читателю.

Миллион человек , выстроенных в одну шеренгу плечом к плечу, растянулись бы на 250 км.

Миллион точек типографского шрифта — например, этой книги, — поставленных рядом вплотную, вытянулись бы в линию длиной в сотни метров.

Зачерпывая миллион раз наперстком , вы вычерпаете около тонны воды.

Книга в миллион страниц имела бы в толщину метров 50.

Миллион букв заключает книга убористой печати в 600–800 страниц среднего формата.

Миллион дней — более 27 столетий. От начала нашей эры не прошло еще миллиона дней!

Человек, увеличенный в миллион раз, едва умещается между Черным и Балтийским морями.

Читая наши газеты, мы встречаемся с числовыми великанами на каждом шагу, и кто не умеет составить себе правильного представления об этих числах, тому недоступен подлинный масштаб и размах социалистической стройки. Возьмем для примера числа, характеризующие наше народное образование. На X съезде ВЛКСМ тов. А. А. Андреев отметил:

"В 1936 году количество учащихся в начальных и средних школах составит 27 935 900 человек".

Если вы не приложите усилий к тому, чтобы осознать это число путем конкретных сопоставлений, оно так и останется в нашей памяти мертвым рядом из восьми цифр.

Но вообразите, что 28 миллионов школьников выстроены в одну шеренгу, по три на метр длины, — и вы с изумлением узнаете, что такая шеренга растянулась бы без малого на 10000 км, то-есть едва поместилась бы в необъятных просторах нашей страны и почти могла бы соединить полюс с экватором. А взявшись за руки, армия советских школьников образовала бы цепь, которая могла бы охватить земной шар по экватору.

В том же, 1936 году для этой армии школьников намечено было к изданию 156 миллионов экземпляров учебников. Попробуем представить себе наглядно этот небывалый ни в какой другой стране выпуск учебных книг. Пусть все 156 миллионов книг наложены одна на другую. Рассчитаем высоту столба, который таким образом составится. Принимая, что толщина одного учебника в среднем только 1 см, получим для высоты столба более 1500 км. Столб пронижет насквозь всю толщу земной атмосферы, на 1000 километров выступая над границей разреженнейших ее областей и возвышаясь над твердой землей на четверть радиуса нашей планеты.