Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Такова кубическая миля. А из земного шара можно сделать 660 миллионов подобных ящиков! При всем почтении к кубической миле, к земному шару приходится питать еще большее уважение".

К сказанному прибавим еще от себя, что кубическая миля пшеничных зерен насчитывала бы их несколько триллионов. Как видите, этот кубический исполин — настоящий пожиратель других исполинов.

Весьма внушительную вместимость имеет и кубический километр.

Нетрудно подсчитать, что ящик в 1 куб. км мог бы вместить 5000 биллионов спичек, вплотную уложенных; для изготовления такого количества спичек фабрика, выпускающая миллион спичек в сутки, должна была бы работать 14 миллионов лет; а чтобы такое число спичек доставить, потребовалось бы 10 миллионов вагонов — поезд длиной в миллион километров, в 2 1/ 2раза длиннее земного экватора.

Огромные промежутки времени представляются нами еще более смутно, чем огромные расстояния и объемы. Геология учит, что со времени отложения наиболее древних пластов земной коры протекли сотни миллионов лет. Как ощутить неизмеримую огромность таких периодов времени? Один ученый предлагает для этого такой способ:

"Все протяжение истории Земли представим в виде прямой линии в 500 км. Это расстояние пусть изображает те 500 миллионов лет, которые протекли от начала кембрийской эпохи (одна из древнейших эпох истории земной коры). Так как километр представляет длительность миллиона лет, то последние 500-1000 м изобразят длительность ледникового периода ; а 6000 лет мировой истории сократятся до 6 м — длины комнаты, в масштабе которой 70 лет жизни человека представляются линией в 7 см. Если заставить улитку проползти все названное расстояние с нормальной для нее скоростью 3,1 мм в секунду, то на все расстояние ей понадобится ровно 5 лет. А все протяжение от начала первой мировой войны до наших дней она одолеет в 13 секунд… Мы видим, как ничтожны в масштабе истории Земли те небольшие сроки, которые человек может объять своим умом…"

ЗАДАЧА-ШУТКА

Какое число делится на все числа без остатка?

Гулливер в своих странствованиях, покинув карликов-лилипутов, очутился среди великанов. Мы путешествуем в обратном порядке: познакомившись с числовыми исполинами, переходим к миру лилипутов — к числам, которые во столько же раз меньше единицы, во сколько единица меньше арифметического великана.

Разыскать представителей этого мира не составляет никакого труда: для этого достаточно написать ряд чисел, обратных миллиону, миллиарду, биллиону и т. д., то-есть делить единицу на эти числа. Получающиеся дроби

1/1000 000, 1/1 000 000 0000, 1/1 000 000 000 000 и т. п.

есть типичные числовые лилипуты, такие же пигмеи [50] Пигмей — человек крошечного роста. по сравнению с единицей, каким является единица по сравнению с миллионом, миллиардом, биллионом и прочими числовыми исполинами.

Вы видите, что каждому числу-исполину соответствует число-лилипут и что, следовательно, числовых лилипутов существует не меньше, чем исполинов. Для них также придуман сокращенный способ обозначения. Мы уже упоминали, что весьма большие числа в научных сочинениях (по астрономии, физике) обозначаются так:

1 000 000… 10 6

10 000 000… 10 7

400 000 000… 4∙10 8

6 квадрильонов… 6∙10 24и т. д.

Соответственно этому числовые лилипуты обозначаются следующим образом:

1/1 000 000… 10 -6

1/100 000 000… 10 -8

3/1 000 000 000… 3∙10 -9и т. д.

Есть ли, однако, реальная надобность в подобных дробях? Приходится ли когда-нибудь действительно иметь дело со столь мелкими долями единицы?

Об этом интересно побеседовать подробнее.

Секунда, по обычному представлению, — настолько малый промежуток времени, что с весьма мелкими частями ее не приходится иметь дела ни при каких обстоятельствах. Легко написать 1/1000 секунды, но это чисто бумажная величина, потому что ничего будто бы не может произойти з такой ничтожный промежуток времени.

Так думают многие, но ошибаются, потому что в тысячную долю секунды могут успеть совершиться весьма многие явления.

Поезд, проходящий 36 км в час, делает в секунду 10 м и, следовательно, в течение 1000-й доли секунды успевает продвинуться на сантиметр. Звук в воздухе переносится в течение 1000-й доли секунды на 33 см, а пуля, покидающая ружейный ствол со скоростью 700–800 м в секунду, переносится за тот же промежуток времени на 70 см. Земной шар перемещается каждую 1000-ю долю секунды, в своем обращении вокруг Солнца, на 30 м. Струна, издающая высокий тон, делает в 1000-ю долю секунды два-четыре и более полных колебания; даже комар успевает в это время взмахнуть вверх или вниз своими крылышками. Молния длится гораздо меньше 1000-й доли секунды: в течение этого промежутка времени успевает возникнуть и прекратиться столь значительное явление природы (молния простирается в длину на целые километры).

Но — возразите вы — 1000-ю долю секунды еще нельзя признать за лилипута, как никто не назовет тысячу числовым гигантом. Вот если взять миллионную долю секунды, то уж наверное можно утверждать, что это величина нереальная — промежуток времени, в течение которого ничего произойти не может. Ошибаетесь! Даже и одна 1 000 000-я доля секунды — для современного физика, например, — вовсе не чрезмерно маленький промежуток. В области явлений световых (и электрических) ученому сплошь и рядом приходится иметь дело с гораздо более мелкими частями секунды. Напомним прежде всего, что световой луч пробегает ежесекундно (в пустоте) 300000 км; следовательно, в 1 000 000-ю долю секунды свет успевает перенестись на расстояние 300 м— примерно на столько же, на сколько переносится в воздухе звук в течение целой секунды.

Как ни мала 1000-я доля секунды, за это время звук успевает пройти 33 см, а винтовочная пуля пролетает 70 см.

Далее: свет есть явление волнообразное, и число световых волн, минующих ежесекундно каждую точку пространства, исчисляется сотнями биллионов. Те световые волны, которые, действуя на наши глаза, вызывают ощущение красного света, имеют частоту колебаний 400 биллионов в секунду; это значит, что в течение одной 1000 000-й доли секунды в наш глаз вступает 400 миллионов волн, а одна волна вступает в глаз в течение 400 000 000 000 000-й доли секунды. Вот подлинный числовой лилипут!

Но этот несомненный, реально существующий лилипут является истинным великаном по сравнению с еще более мелкими долями секунды, с которыми физик встречается при изучении рентгеновых лучей. Эти удивительные лучи, обладающие свойством проникать через многие непрозрачные тела, представляют собой, как и видимые лучи, волнообразное явление, но частота колебаний у них значительно больше, чем у видимых: она достигает 2500 биллионов в секунду. Волны следуют тут одна за другой в 60 раз чаще, чем в лучах видимого красного света. Значит, и в мире лилипутов существуют свои великаны и карлики. Гулливер был выше лилипутов всего в дюжину раз и казался им великаном. Здесь же один лилипут больше другого в пять дюжин раз и, следовательно, имеет право именоваться по отношению к нему исполином.