Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Могу сообщить вам, что это число начинается цифрами 428 124 773 175 747 048 036 987 118 и кончается 89. Что находится между этим началом и концом — неизвестно. А ведь там 369 693 061 цифра!..

Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим длиннейшим рядом цифр? Трудно дать хотя бы приблизительное представление о его громадности, потому что такого множества вещей, считая даже каждый электрон за отдельную вещь, нет в целой вселенной !

Архимед вычислил некогда, сколько песчинок заключал бы в себе мир, если бы весь он, до неподвижных звезд, наполнен был тончайшим песком. У него получился результат, не превышающий единицы с 63 нолями. Наше число состоит не из 64, а почти из 370 миллионов цифр — следовательно, оно неизмеримо превышает огромное число Архимеда.

Поступим же по примеру Архимеда, но вместо "исчисления песчинок" произведем "исчисление электронов". Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше земного шара. Для радиуса видимой вселенной примем расстояние в миллиард световых лет [54] Самый далекий небесный предмет, известный астрономам, находится на расстоянии 100 миллионов световых лет, то-есть вдесятеро ближе. . Так как свет пробегает в секунду 300000 км, а в году 31 миллион секунд, то можно считать, что световой год равен круглым счетом 10 биллионам километров (гнаться за большей точностью здесь бесполезно). Значит, для радиуса всей известной нам вселенной получаем величину 10 миллиардов биллионов километров, или, прибегая к способу изображения числовых великанов, объясненному раньше, 10 22км.

Объем шара такого радиуса можно вычислить по правилам геометрии: он равен (с округлением) 44∙10 66куб. км. Умножив это число на число кубических сантиметров в кубическом километре (10 15), получим для объема [55] Небезинтересно отметить, что Архимед в своем исчислении песчинок определял объем вселенной в 5∙10 54 куб. см. видимой вселенной величину 10 81куб. см.

Теперь представим себе, что весь этот объем сплошь заполнен самыми тяжелыми из известных нам атомов — атомами элемента урана, которых идет на грамм около 10 22штук. Их поместилось бы в шаре указанного объема 10 103штуки. Дознано, что в каждом атоме урана содержится 238 электронов (внешних и внутренних). Поэтому во всей доступной нашему исследованию вселенной могло бы поместиться не более 10 106электронов.

Число, состоящее "всего лишь" из 107 цифр… Как это мизерно по сравнению с нашим числовым великаном почти из 370 миллионов цифр!

Вы видите, что, наполняя сплошь видимую вселенную электронами, мы не исчерпали и небольшой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением:

Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности.

Соответствующий числовой лилипут получится, если разделим единицу на это число. Будем иметь:

что равно:

1/ 9 387420489

Мы имеем здесь знакомое нам огромное число в знаменателе. Сверхвеликан превратился в сверхлилипута.

Необходимо сделать существенное замечание о великане из трех девяток. Я получил немало писем от читателей с утверждением, что выражение это вовсе не так трудно вычислить; ряд читателей даже выполнили требуемый расчет, употребив на него сравнительно немного времени. Результат оказался несравненно скромнее того, о котором у меня рассказано. В самом деле, пишут они,

9 9= 387 420 489;

возвысив же 387 420 489 в 9-ю степень, получаем число "всего лишь" из 72 цифр. Это хотя и не мало, но до 370 миллионов цифр от него еще очень далеко…

Читатели недоумевают, а между тем ошибка их в том, что ими неправильно понят смысл трехъярусного выражения из девяток. Они понимают его так:

в то время как правильное его понимание иное:

Отсюда огромная разница в итогах вычисления.

Оба способа понимания приводят к одинаковому результату только в одном случае: когда мы имеем выражение

Тут безразлично, как вести вычисление: в обоих случаях получается один результат—16.

Любопытно, что сейчас приведенное выражение вовсе не означает самого большого числа, какое можно изобразить тремя двойками. Можно получить гораздо большее число, если расположить двойки так:

2 22

Это выражение равно 4 194 304, то-есть значительно больше 16.

Как видите, третья сверхстепень не во всех случаях выражает наибольшее число, какое можно изобразить тремя одинаковыми цифрами.

В молодости я занимался в редакции одного распространенного ленинградского журнала, где состоял секретарем. Однажды мне подали визитную карточку посетителя. Я прочел на ней незнакомое имя и весьма необычное обозначение профессии: "первый русский кругосветный путешественник пешком". По обязанности службы мне не раз доводилось беседовать с путешественниками по всем частям света и даже с кругосветными, но о "кругосветном путешественнике пешком" я еще не слыхал. С любопытством поспешил я в приемную, чтобы познакомиться с этим предприимчивым и неутомимым человеком.

Замечательный путешественник был молод и имел очень скромный вид. На вопрос, когда успел он совершить свое необыкновенное путешествие, "первый русский кругосветный и т. д." объяснил мне, что теперь оно именно и совершается. Маршрут? Шувалово — Ленинград [56] Шувалово — небольшая станция в 10 км от Ленинграда. ; о дальнейшем он желает посоветоваться со мной… Из разговора выяснилось, что планы "первого русского и т. д." довольно смутны, но, во всяком случае, не предусматривают оставления пределов России.

— Как же в таком случае совершите вы кругосветное путешествие? — с изумлением спросил я.

— Главное дело длину земного обхвата пройти; это можно и в России сделать, — разрешил он мое недоумение. — Десять километров уже пройдено, и остается…

— Всего тридцать девять тысяч девятьсот девяносто. Счастливого пути!..

Не знаю, как странствовал "первый и т. д." на протяжении остальной части своего пути. Но что он успешно выполнил свое намерение, я нисколько не сомневаюсь. Даже если он больше вовсе не странствовал, а сразу возвратился в родное Шувалово и безвыездно проживал там, — он и в таком случае прошел не менее 40000 км. Беда только, что он не первый и не единственный человек, совершивший такой подвиг. И вы, и я, и большинство других граждан нашего Союза имеют столько же прав называться "русским кругосветным путешественником пешком " в понимании шуваловского ходока. Потому что каждый из нас, какой бы он ни был домосед, успел в течение своей жизни, сам того не подозревая, пройти пешком путь даже более длинный, чем окружность земного шара. Маленький арифметический подсчет убедит вас в этом.