Коллектив авторов - Логика. Краткий курс

Вспомогательные слова «и», «либо, либо», «если, то» называют логическими связками. Сложные высказывания можно строить с помощью логических связок. Так, из высказываний «светит солнце» и «идет дождь» можно образовать сложные высказывания типа «если светит солнце, то идет дождь», «светит солнце и идет дождь» и т. п.

Укажем самые важные способы построения сложных высказываний. Отрицанием называется такая логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается высказывание с противоположным логическим значением.

Обозначим высказывания буквами А, В, С, …, отрицание высказывания – символом ~. Тогда если высказывание А истинно, то его отрицание ~А ложно, и если А ложно, его отрицание ~А истинно. Например, отрицанием высказывания «три является четным числом» служит высказывание «три не является четным числом».

Сложное высказывание, полученное с помощью двух (или более) высказываний при помощи слова «и», называется конъюнкцией. Заменяя слово «и» на «или» в предыдущем определении, получаем дизъюнкцию высказываний.

Высказывания, получаемые описанными способами, представляют собой предмет изучения логики высказываний. Она предполагает, что любое высказывание имеет свое логическое значение, зависящее от значений простых высказываний, входящих в него, а также и от характера их связи.

При помощи таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких – ложно.

Важнейшим предметом изучения логики высказываний служат логические законы, высказывания, имеющие истинные значения независимо от логических значений его составляющих.

Логика высказываний – это теория логических связей высказываний, не зависящих от внутреннего строения простых высказываний; это совокупность формул или сложных высказываний, записанных на специальном языке, включающем множество переменных: А, В, С, …, А1, В1, С1…, представляющих высказывания; особые символы для логических связок, например &, ∧ – «и», ~ «неверно, что», «или», и скобки, играющие роль знаков препинания.

Логика высказываний не занимается анализом внутренней структуры простых высказываний, считая их неразложимыми.

Для определения структуры высказываний вводится список индивидных переменных: х, у, z …, х1, у1, z1 …., представляющих разные объекты, и перечень предикатных переменных: Р, Q , R, …, Р1, Q1, R1, …, представляющих свойства и отношения объектов. Наряду с этими переменными могут рассматриваться индивидные константы, имена собственные.

Запись (x) Р(х) означает «любой х обладает свойством Р», (∃х) Р(х) – «существует х, обладающий свойством Р», (∃x) Q(x, у) – «существует х, который находится в отношении Q с у» и т. д.

Под предикатом понимается языковое выражение, обозначающее некоторое свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство предмета, например «быть круглым», называется одноместным. Двухместным, трехместным называется предикат, обозначающий отношение, в зависимости от числа его членов. Например, «кусает» – двухместный предикат, «находится посередине» – трехместный.

Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Данные функции превращаются в высказывания после подстановки имен вместо переменных.

Функцией одной переменной, например, становится выражение «…есть золотой» и т. д. В логике предикатов существуют логические операторы ∀ («для всех», «для любого», «для каждого») и ∃(«для некоторых», «существует»), называемые кванторами общности и существования соответственно.

Логика предикатов – раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний. Логика предикатов представляет собой расширение логики высказываний, поскольку все законы логики высказываний служат также законами логики предикатов, однако не наоборот.

Умозаключение– такая логическая операция, результатом которой становится новое утверждение – заключение (следствие), полученное из одного или нескольких утверждений (посылок).

Существует два вида умозаключений, соответствующих случаям, когда связь логического следования существует между посылками или такая связь отсутствует: дедуктивные и индуктивные. В дедуктивном (силлогистическом) умозаключении эта связь опирается на логический закон, в силу чего заключение вытекает из принятых посылок.

Отличие дедуктивного умозаключения в том, что оно от истинных посылок неизменно приводит к истинному заключению. К дедуктивным относятся, например, такие умозаключения: если данное число делится на шесть, следовательно, оно делится на три.

Характерными дедукциями служат логические переходы от общего знания к частному. Всегда, когда требуется рассмотреть некоторое явление на основании уже известного общего принципа и получить в отношении этого явления необходимое заключение, мы умозаключаем в форме дедукции (все поэты – писатели; Шекспир – поэт; следовательно, Шекспир – писатель).

Под дедукцией понимается выведение заключений, столь же истинных, как и принятые посылки. В обычных рассуждениях дедукция лишь в редких случаях предстает в развернутой форме. Чаще всего лишь некоторые посылки указываются явно, но не все используются в рассуждении. Общие утверждения, о которых предполагается, что они хорошо известны или очевидны, как правило, опускаются. Заключения, следующие из принятых посылок, также не всегда формулируются. Однако лишь иногда логическая связь между исходными и выводимыми утверждениями отмечается словами, такими как «следовательно» и «значит».

Как правило, дедукция настолько сокращается, что о ней остается только догадываться, и восстановить ее полностью, с указанием всех необходимых элементов и их связей, бывает нелегко.

Несколько обременительно проведение дедуктивного рассуждения без сокращений. Тем не менее для обнаружения возможных допущенных ошибок и при возникновении сомнений в обоснованности дедуктивного вывода необходимо вернуться к началу рассуждения и повторить его в наиболее подробной форме.

С помощью дедуктивного способа легко выявить внутренние связи элементов целого (например, внутри теории, формы мысли и пр.). По этой причине под дедукцией понимается опережающий способ познания, эффективный метод исследования, представления, изложения мысли.