Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

Сумеете ли вы найти простое решение?

??** Головоломка 35.Самая длинная возрастающая подпоследовательность.

Пусть дана таблица a из n каких-либо чисел (но если это может доставить вам удовольствие — из натуральных чисел. Это неважно). Подпоследовательность этой таблицы есть последовательность чисел, выделенная в порядке возрастания номеров. Более точно, последовательность

a [ i 1] a [ i 2] a [ i 3] … a [ i p ]

есть подпоследовательность последовательности а, если i 1< i 2< … < i p . (Числа идут в одном и том же порядке в таблице a и в ее подпоследовательности, но эта формулировка двусмысленна.)

Последовательность возрастает [18] Нужно было бы сказать «не убывает», но получилось бы совершенно не в стиле этой книги. — Примеч. ред. , если, кроме того,

a [ i 1] ≤ a [ i 2] ≤ a [ i 3] ≤ … ≤ a [ i p ].

Требуется выделить из a самую длинную возрастающую подпоследовательность. Вы имеете право использовать вспомогательные векторы.

Можно найти исследование этой задачи в нескольких книгах и на нее изведено немало чернил (да и мела тоже: я видел ее исследования в трудах международных семинаров). Кроме того, совершенно не одно и то же — довольствуемся ли мы определением максимальной длины и даже последнего члена самой длинной возрастающей подпоследовательности последовательности a (внимание: может случиться, что есть много таких подпоследовательностей одинаковой длины) или же мы хотим получить также список членов такой максимальной последовательности.

Иногда в условие вводят дополнительное ограничение: число требуемых операций должно быть порядка n * In( n ). Я не уверен, что это действительное ограничение. Если вы найдете решение, то оно, скорее всего, будет обладать этим свойством.

??** Головоломка 36.Самое длинное слово.

Заглавие вводит в заблуждение… Однажды мы проводили экзамен у наших учеников в DEUG по составлению программы, которая сообщает, скрыто ли данное слово в данной фразе, иначе говоря, встречаются ли буквы данного слова в том же порядке в данной фразе. Так, в следующей фразе (взятой из «Ярмарки у скупцов» Жана Шарля):

«Je peux te d onner lʼa dr esse dʼ un excellent cireur de parquet s: il s erend à domicile»

слово TONDEUSE скрыто (соответствующие буквы подчеркнуты), но ни слово GAZON (нет буквы G), ни слово DOMINATEUR (все буквы есть, но в неправильном порядке) не содержатся.

Но это не головоломка, это совсем просто (уж это точно…). Я спрашиваю вас о другом — найти, какое слово наибольшей длины скрыто одновременно в двух фразах. На самом деле, конечно, речь идет не о слове, а скорее о последовательности букв: какая наиболее длинная последовательность букв может быть обнаружена в одном и том же порядке в двух фразах. Если это может вам помочь, то вот другой пример из «Ярмарки у скупцов»:

«А lʼoccasion du 14 juill et, l es h omm es remp lace ro nt les cruch es dan s le sch ambr es».

Моя Программа сообщает мне, что наиболее длинная последовательность букв, которая встречается одновременно в одном и том же порядке в обоих отрывках, это набор

JETEOERLARNLECREDASLSAME

Вы можете проверить, что эти буквы действительно встречаются в обеих фразах (во второй из них они подчеркнуты). Но вручную невозможно проверить, что этот набор — самый длинный из возможных. Если вы не можете доверять вашей программе, не пишите ее…

Если вы сожалеете, что я злоупотребил названием, которое напоминает совсем о другом, а именно, об игре Армана Жаммо: найти наиболее длинное слово, которое можно образовать из 9 данных букв, то я не запрещаю вам исследовать также и эту игру. Но тут я вижу два препятствия. Во-первых, с точки зрения процесса ее создания есть очень мало того, что требуется обнаружить или открыть (если не пришлось открывать какой-нибудь словарь Скраббля). Далее, нужно ввести в компьютер настоящий словарь, что предполагает большой объем хранения и чудовищный труд отстукивания по клавишам, совершенно лишенный интереса…

?*** Головоломка 37.Белый прямоугольник.

Ах, ах! Тут-то я вас и поймал. Вы немедленно вообразили себе какую-нибудь не поддающуюся пересказу историю… Такое в книгах по информатике бывает редко, но бывает [SIK]. В своем сочинении о языке ЛИСП Лоран Сиклосси должен был использовать многочисленные примеры буквенных цепочек, и все составленные им цепочки одна смешнее другой. Это и вдохновило меня на предыдущую головоломку. Я предложил своему издателю перевести сочинение Сиклосси, что не должно было быть таким уж трудным, поскольку автор использует французские фразы, чтобы блеснуть учтивостью (иначе он бы говорил это по-латыни). Но Сиклосси, который превосходно владеет французским языком — несмотря на то, что он профессор информатики в Соединенных Штатах, — захотел изменить примеры к французской версии книги, используя «акрофонические перестановки» — перестановки букв или слогов, создающие слова с новым значением… Издатель не согласился, и французская литература потеряла прекрасное сочинение о языке ЛИСП… Если вы читаете по-английски и если вы хотите выучить ЛИСП, почему вам нельзя развлекаться, учась?

Здесь речь идет совсем о другом. Эта задача была предложена как одна из четырех тем на конкурсе программирования в АФСЕТ несколько лет назад. Вам дана прямоугольная решетка для кроссворда. Найдите белый (т. е. не содержащий вычеркнутых черных клеток) прямоугольник наибольшей площади, вписанный в решетку (квадрат есть частный случай прямоугольника).

На рис. 34 есть прямоугольник площади 8 в левом нижнем углу и есть квадрат площади 9. Это — хороший ответ. Программа, которую вы должны составить, должна читать размеры сетки (число строк и столбцов), затем— координаты черных полей и, наконец, давать прямоугольник наибольшей площади, например, указанием координат двух противоположных вершин.

Для программистов на конкурсе АФСЕТ это не было легкой задачей. Она оказалась едва ли не наиболее трудной задачей, будучи единственной задачей, доставившей мне затруднения (см. головоломку 22, другое упражнение на том же конкурсе). Один из соревнующихся достиг цели, решительно пренебрегая эффективностью. Вы-то не очень ограничены временем (по крайней мере временем размышления или временем программирования). Попытайтесь составить программу, время вычисления которой не слишком быстро растет вместе с размером сетки.