Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

Головоломка 5.

Аккуратно поставим задачу. То, что от вас требуется, — это не взятая глобально последовательность, а вот что: если начало последовательности выписано, то нужно найти следующее число. Возьмем пример, данный в головоломке 5: какое число следует за 50?

Есть ровно три возможности.

1. Число делится на 2. После однократного деления на 2 оно не будет иметь других делителей нуля, кроме 2, 3 и 5. Следовательно, это число — из последовательности. Так как 50 : 2 = 25, то полученное частное больше, чем 25. Наименьшее число последовательности, большее 25, есть 27. Таким образом, если следующее за 50 число делится на два, то оно равно 2 × 27 = 54.

2. Оно делится на 3. То же рассуждение. 50 : 3 = 16,7. Первое число последовательности, большее 16,7, есть 18. Если следующее за 50 число делится на 3, то это число равно 3 × 18 = 54.

3. Оно делится на 5. 50 : 5 = 10. Следующее за 10 равно 12,

5 × 12 = 60.

Таким образом, у нас 3 кандидата: 54, 54, 60. Наименьшее из этих трех и есть искомое.

Мы получили 54, используя только уже вычисленную часть последовательности Хэмминга.

Я предложил вам идею решения на примере. Вам следует ее обобщить, показать, что это всегда верно, и составить хорошую программу для решения.

Головоломка 6.

Я предлагаю вам начать с образования различных числовых последовательностей, получаемых вычеркиванием чисел. Вот первые из них:

1 : 2 3 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819

2 : 3 5 7 911 13 1517 19 2123 25 2729 31 3335

3 : 5 7 11 13 17 1923 25 28 31 3537 41 43 47 49

На этом уровне можно поверить, что появляется возвратное соотношение: во второй последовательности нет четных чисел, в третьей — нет кратных трем. Образуем следующую: 25, кратное 5 содержится. Покажем механизм перехода от одной последовательности к другой последовательности

3 : 5 7 11 13 17 19 23 26 29 31 35 37 41 43 47 49

5 : 7 11 13 17 23 25 29 81 87 41 43 47

Если вы все это хорошо поняли, то вы теперь должны суметь обобщить. Обозначим черев g ( i , j ) число, стоящее в последовательности ранга i , которая начинается с g ( i , 0). Число g ( i , 0) = h ( i ) и есть счастливое число ранга i . Если вы можете построить g ( i + 1, j ), исходя ив g ( i , …), то вы должны суметь решить задачу. Само собою разумеется, что таблица чисел g не должна участвовать в программе. Это — только промежуточное средство вычисления…

Головоломка 7.

Нужно попытаться сгруппировать эффект нескольких последовательных шагов. Нечетное p дает (3 p + 1)/2, которое можно еще переписать в виде

3( p + 1)/2 − 1,

что дает правило: добавить 1,

разделить на 2 и умножить на 3,

уменьшить на 1.

Предположим, что результат нечетен. За операцией «уменьшить на 1» сраву же следует операция «добавить 1», и в результате этих двух операций ничто не меняется. Отсюда следует новое правило:

добавить 1,

пока результат четен, делить его на 2 и умножать его на 3,

уменьшить на 1,

делить на 2, пока это возможно.

Составьте по этому правилу программу и заставьте ее перечислять все величины, полученные таким образом (все они будут нечетны. Заметьте, что только первое число в ряду может оказаться кратным трем).

Если вы замените 3 на m , то второе правило изменяется: пока результат четен, делить его на 2 и умножать его на m .

Вернемся к случаю числа 3. Наше правило можно переписать следующим образом: пусть k — некоторое нечетное число; тогда 2 pk − 1 дает (3 pk − 1)/2 q .

Назовем эту операцию переходом p , q .

Можете ли вы показать, что:

если n = 2 по модулю 3, то элемент, следующий за n , равен некоторому элементу, следующему за (2 n − 1)/3;

если n дает некоторое n при переходе p , q , где q > 1, то число ( n − 1)/2 порождает ту же последовательность, что и n , за исключением, быть может, нескольких первых членов.

Любое число вида n = 4 k + 1 имеет непосредственно следующее n ' < n .

Для того чтобы n допускало переход p , 1, необходимо и достаточно, чтобы n имело вид n = k 2 p − 1, где

k = 1 по модулю 4, если p нечетно,

k = 3 по модулю 4, если p четно.

Если вы хотите проверить о помощью программы, что это свойство выполняется для любого нечетного n в данном интервале от 3 до n , вы можете пробежать все нечетные числа в возрастающем порядке и проверить, что для каждого ив них это верно. Но вы можете сначала вычеркнуть из списка все нечетные числа, о которых вы знаете, что их поведение сводится к поведению последовательности, относящейся к меньшему нечетному числу, поскольку список нечетных чисел пробегается в возрастающем порядке, и этот случай уже был неучен. Таким образом, остается не больше чисел, чем уже было отмечено.

Но построить список априори, без вычеркиваний в более широком списке, так же трудно, как построить последовательность счастливых чисел…

Затем можно пытаться сделать еще один шаг: для любого не вычеркнутого n вычислить первый следующий за ним элемент. Он больше n (в противном случае n был бы вычеркнут). Если он содержится в интервале от 3 до N , то мы ничего не делаем (этот случай будет изучен ниже). Если же он больше N , то мы помещаем его в резерв. Таким образом, мы получим некоторый список чисел, больших N . Если для каждого числа из этого списка возвратная последовательность достигает 1, то мы сможем доказать, что это свойство выполняется для всех чисел, меньших N , и еще для некоторых других.

Конечно, это не доказывает общей теоремы: для любого n предложенная последовательность достигает 1. Но нужно присоединить к делу новую форму рассуждения, которая потребует серьезных размышлений и надежных логических оснований для того, чтобы оказалось возможным поправить дело…

Вот, наконец, последнее свойство, которое вы должны уметь доказывать: не существует пар p , q , где p и q — натуральные числа, для которых n дает n при переходе p , q . Это не означает, что не существует периодических последовательностей. Про них я сумел доказать только тот факт, что не может иметь места цикл

n дает n ' при переходе p , q ;

n ' дает n при переходе p ', q '.

Как бы то ни было, этого на сей раз недостаточно.

Но это полезно, чтобы увидеть, каким образом 3 играет существенную роль в этом деле…

Общая идея состоит в том, чтобы перепробовать все возможные комбинации, согласующиеся с условием, и сохранить только те из них, которые удовлетворяют предложенной операции.

Головоломка 8.

Пусть даны значения D и E (значения различны). Из них получается Y и то, что «в уме». По этой величине «в уме» получается значение N . Так как N + R + «в уме» = E (плюс, быть может, 10) и так как E известно, то только N можно выбирать произвольно. Кроме того, нужно, чтобы оно отличалось от D , E и Y и нужно, чтобы R , полученное таким образом, отличалось от D , E , Y , N . Если пока все идет хорошо, то вы продолжаете выбор. Если уже возникла невозможность, то вернитесь назад и осуществите другой выбор N . Если никакой выбор для N не оказывается возможным, вернитесь назад и измените выбор E …