Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Получилось 75, да?

Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11, а потом – 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 – нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали с трехзначного числа – 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом 831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 – четное число. Дальше делаем 18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.

Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T , само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9. Когда мы вычитаем из загаданного числа T , мы гарантированно получаем результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма – 11; мы вычитаем 11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 – точно, как в наших примерах.

Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:

При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе метода FOIL , о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют формы 9 x + 5 и 9 y + 6, где x и y – целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем

При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется, но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9. Иногда его называют «ведическим». Возьмем

Представим это в следующем виде:

Продублируем первую цифру над чертой, там же – но уже над последней цифрой – напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:

А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1 и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего частного будет 3.

Потом 3 + 3 = 6.

Затем 6 + 0 = 6.

И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.

И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже не верится, правда? Приведем еще один пример:

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:

Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом 8 + 1 = 9, и в конце – 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз 14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490 и 5 в остатке.

А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что

Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9 и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении 4821 ÷ 9, мы делаем вот что:

Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого – 5 + 1 = 6; в результате получаем 535 с остатком 6 – взгляните:

Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее. Попробуем 98 765 ÷ 9.

Мы начинаем с 9, складываем 9 + 8 = 17, отмечаем запоминаемую единицу и вычитаем 9, чтобы получить вторую цифру – 8. Дальше у нас идет 8 + 7 = 15, мы отмечаем еще одну единицу и пишем 15 – 9 = 6. 6 + 6 = 12 – значит, «на ум идет» уже третья единица, – считаем 12 – 9 = 3. И остаток: 3 + 5 = 8. С учетом запомненных единиц получаем 10 973 с остатком 8.

Если вам уже нравится деление на 9, попробуйте делить на 91. Возьмите любое двузначное число и просто делите его на 91 без остановки, множа количество знаков после запятой, пока не надоест. И никаких столбиков, никаких калькуляторов! Нет, кроме шуток! Вот, смотрите:

Если говорить конкретнее, ответ тут – , где линия над цифрами 582417 означает, что они повторяются до бесконечности. Откуда эти числа берутся? На самом деле это деление ничуть не сложнее умножения исходного двузначного числа на 11. С помощью метода, о котором мы говорили в главе 1, считаем 53 × 11 = 583. Вычитаем из этого числа единицу и получаем первую половину нашего ответа, а именно – 0,582. Вторая половина – это разность, полученная при вычитании первой половины из 999: 999 – 582 = 417. В результате получаем .

Еще один пример – 78 ÷ 91. Здесь 78 × 11 = 858, то есть ответ будет начинаться с 857. Затем 999 – 857 = 142, поэтому 78 ÷ 91 = . Это число нам уже встречалось в главе 1, потому что 78/91 легко упрощается до 6/7.

Метод этот работает, потому что 91 × 11 = 1001. Поэтому в первом примере А так как 1/1001 = , мы получаем повторяющуюся часть нашего ответа из 583 × 999 = 583 000 – 583 = 582 417.