Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Интересно, что астрономия и астрофизика, возможно, еще не до конца сыграли свою роль в ответе на вопрос об изобретении или открытии. Не так давно поиски планет вне Солнечной системы показали, что около пяти процентов всех звезд обладают по крайней мере одной гигантской планетой вроде Юпитера и что эта доля примерно одинакова по всему Млечному пути. Точный процент планет земного типа пока не известен, но есть вероятность, что в галактике их миллиарды. Даже если лишь очень маленькая, но все же отличающаяся от нуля доля этих «Земель» находится в обитаемой зоне (на орбите, которая проходит от звезды на таком расстоянии, что делает возможным существование на поверхности планеты жидкой воды), вероятность возникновения жизни как таковой и, в частности, разума на таких планетах больше нуля. А если нам удастся открыть разумную жизнь и наладить с ней коммуникацию, можно будет получить бесценные сведения о том, какие формальные методы объяснения устройства космоса разрабатывают другие цивилизации. И тогда мы не просто добьемся невообразимых успехов в понимании происхождения и эволюции жизни, но и получим возможность сравнить свою логику с логическими системами потенциально более развитых существ.

Если же взять куда более спекулятивную ноту, то некоторые космологические сценарии, например так называемая хаотическая теория инфляции, предсказывают возможность существования множественных вселенных. Не исключено, что в иных таких вселенных не только значения фундаментальных физических постоянных (например, силы различных типов взаимодействий или отношения масс субатомных частиц) отличаются от наших, но и вообще правят совсем другие законы природы.

Астрофизик Макс Тегмарк утверждает, что каждой возможной математической структуре должна соответствовать (или, по его словам, соответствует) своя Вселенная [163] Тегмарк выделяет четыре различных типа параллельных вселенных. Вселенные «Уровня I» – это вселенные с теми же законами физики, но иными начальными условиями. На «Уровне II» находятся вселенные с теми же физическими равенствами, но, вероятно, с другими фундаментальными постоянными. На «Уровне III» задействована «многомировая интерпретация» квантовой механики, а на «Уровне IV» – другие математические структуры. Tegmark 2004, 2007b. . Если это так, то перед нами доведенная до предела версия позиции «Вселенная есть математика»: с математикой идентифицируется даже не один мир, а целый их ансамбль. К сожалению, эти умозаключения не просто радикальны и на данный момент не подлежат экспериментальной проверке, но и противоречат, по крайней мере, в упрощенном виде, так называемому принципу заурядности . [164] Превосходный обзор этой темы см. в Vilenkin 2006. . Как я писал в главе 5, если выбрать на улице случайного прохожего, то с вероятностью 95 % его рост попадет в пределы двух стандартных отклонений от среднего роста. Подобную же аргументацию следует применять и к свойствам вселенных. Однако количество возможных математических структур с увеличением сложности стремительно возрастает. Это значит, что самая заурядная структура, близкая к средней, должна быть необычайно сложной. А это не вяжется с относительной простотой нашей математики и наших теорий Вселенной, а значит, не соответствует естественным представлениям о том, что наша Вселенная должна быть типичной.

Вопрос «что есть математика – изобретение или открытие?» сформулирован некорректно, поскольку из такой формулировки следует, что нужно выбрать какой-то один ответ и что эти два варианта взаимоисключающи. Я предлагаю другую версию: математика отчасти открыта, а отчасти изобретена. Люди постоянно изобретают математические понятия и открывают отношения между этими понятиями. Конечно, некоторые эмпирические открытия предшествовали формулировке понятий, однако сами понятия, несомненно, стали стимулом для дальнейших открытий новых теорем. Кроме того, я хочу заметить, что некоторые философы математики, например американец Хилари Патнэм, придерживаются умеренной позиции, так называемого реализма : они верят в объективность математического дискурса (утверждения бывают истинные и ложные, а то, что делает их истинными или ложными, лежит вне сферы влияния человека), однако не убеждены, в отличие от платоников, в существовании «математических объектов» (Putnam 1975). Но ведут ли подобные представления к удовлетворительному ответу на загадку Вигнера – загадку о «непостижимой эффективности» математики?

Позвольте кратко очертить некоторые варианты ответов, предлагаемые современными мыслителями [165] Некоторые мнения я не обсуждаю. Например, Стейнер (Steiner 2005) утверждает, что Вигнер не доказывает, что примеры, которые он приводит, имеют какое-то отношение к тому, что эти понятия именно математические. .

Вот что пишет Дэвид Гросс, лауреат Нобелевской премии по физике [166] Gross 1988. Более углубленный разбор отношений между физикой и математикой можно найти в Vafa 2000. .

Существует точка зрения, насколько мне известно, довольно распространенная среди математиков, занимающихся новыми разработками, согласно которой математические структуры, получаемые этими учеными, представляют собой не искусственные творения человеческого разума, а представляются им некоторым образом естественными, как будто они столь же реальны, как и структуры, созданные физиками для описания так называемого реального мира. Иначе говоря, математики не изобретают новую математику, а открывают ее. Если это так, то, пожалуй, некоторые тайны, которые мы исследовали [ «непостижимая эффективность»], уже не так таинственны. Если математика сводится к структурам, представляющим собой реальную часть мира природы, столь же реальную, что и понятия теоретической физики, не приходится удивляться, что она служит эффективным инструментом анализа реального мира.

То есть Гросс опирается здесь на вариант точки зрения «математика есть открытие», который находится где-то между платоновским миром и миром «Вселенная есть математика», но ближе к платоническому мировоззрению. Однако, как мы видели, философски обосновать утверждение «математика есть открытие» трудно. Более того, платонизм не может по-настоящему ответить на вопрос о феноменальной точности, о котором я говорил в главе 8, – и Гросс это признает.

Сэр Майкл Атья, чьи представления о природе математики я в основном разделяю, пишет об этом так (Atiyah 1995; см. также Atiyah 1993).

Если рассматривать мозг в контексте эволюции, то загадочные успехи математики в физических науках можно объяснить – по крайней мере, отчасти. Мозг развивался так, чтобы легче было иметь дело с физическим миром, поэтому, пожалуй, не надо удивляться, что он разработал математику – язык, прекрасно подходящий для этой цели.