Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Геоцентрическая модель Птолемея безраздельно правила почти полторы тысячи лет. Ни на какую универсальность она не претендовала, движение каждой планеты рассматривалось отдельно, а о физических его причинах (силе, ускорении) не упоминалось, однако результаты наблюдений она предсказывала достаточно надежно. Николай Коперник (1473–1543) в 1534 году обнародовал гелиоцентрическую модель, а Галилей, так сказать, подвел под нее твердый фундамент. Кроме того, Галилей заложил основу законов движения. Но только Кеплер вывел из наблюдательных данных первые математические, пусть и чисто феноменологические законы движения планет. Кеплер рассчитал орбиту Марса на основании огромного количества данных, которые достались ему в наследство от астронома Тихо Браге [168] Сочинения самого Кеплера – Kepler 1981 и 1997 – само по себе интереснейшее чтение по истории науки. Существует несколько прекрасных биографий Кеплера, в том числе Caspar 1993 и Gingerich 1973. . Сотни страниц математических выкладок, которые ему для этого потребовались, он назвал «моей битвой с Марсом». Всем наблюдениям вполне соответствовала круглая орбита – за исключением двух отклонений. Однако Кеплера это решение не устроило, и впоследствии он так описывал ход своих мыслей: «Если бы я считал, что мы можем пренебречь этими восемью минутами [угловыми, это примерно четверть поперечника полной луны], то подправил бы свою гипотезу… соответственным образом. Однако, поскольку отбросить их было невозможно, эти восемь минут и только они подтолкнули меня на путь полной реформы астрономии». Последствия этой дотошности были просто поразительны. Кеплер предположил, что орбиты планет не круглые, а эллиптические, и сформулировал два дополнительных количественных закона, которые действуют для всех планет. Эти законы вкупе с ньютоновыми законами движения и стали основой для закона всемирного тяготения Ньютона. Однако вспомним, что Декарт за это время успел выдвинуть теорию вихрей, согласно которой планеты влекомы вокруг Солнца вихрями кружащихся частиц. Эта теория к особым достижениям не привела – даже до того, как Ньютон доказал, что она противоречива, – поскольку систематических математических моделей для своих вихрей Декарт не разработал.

Чему нас учит этот краткий рассказ? Нет никаких сомнений, что закон всемирного тяготения Ньютона – это плод работы гениального ума. Однако этот гений трудился не в вакууме. Некоторые основы были старательно заложены его предшественниками. Как я отметил в главе 4, даже ученые куда меньшего калибра, чем Ньютон, в частности архитектор Кристофер Рен и физик Роберт Гук, независимо сформулировали закон притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния. Величие Ньютона проявилось в его непревзойденной способности объединить это все в универсальную теорию и в упорстве, с которым он разработал математическое доказательство всех следствий из своей теории. Почему эта модель оказалась такой точной? Отчасти потому, что решала самую фундаментальную задачу – о силе притяжения между двумя телами и их результирующем движении. И больше никаких осложняющих факторов. Ньютон получил полное решение этой задачи – и только ее. Именно поэтому фундаментальная теория оказалась крайне точной, однако следствия из нее должны были постоянно уточняться.

В Солнечной системе тел не два, а больше. Если учитывать влияние других планет (опять же в соответствии с законом обратных квадратов), то орбиты перестают быть простыми эллипсами. Например, оказалось, что орбита Земли медленно меняет положение в пространстве – это движение называется прецессия , именно так перемещается ось вращающегося волчка. Более того, современные исследования показали, что, вопреки ожиданиям Лапласа, орбиты планет в конечном итоге могут даже впасть в хаос (подробнее об этом см. Lecar et al. 2001).

Фундаментальная теория Ньютона впоследствии, разумеется, была включена в общую теорию относительности Эйнштейна. И появлению этой теории также предшествовала череда промахов и фальстартов. Так что предсказать точность той или иной теории невозможно. Не проверишь – не узнаешь, и нужно постоянно делать поправки и уточнения, пока не достигнешь желаемой точности. Те несколько случаев, когда невероятная точность достигалась за один шаг, следует считать настоящими чудесами.

Однако есть и еще одно важное общее обстоятельство, из-за которого поиск фундаментальных законов остается стоящим делом. Речь идет о том, что природа в своей любви к нам управляется именно универсальными , а не местными законами. Атом водорода везде ведет себя совершенно одинаково – и на Земле, и на другом краю Млечного пути, и даже в галактике за десять миллиардов световых лет от нас. Это не зависит от того, куда и когда мы посмотрим. Математики и физики придумали для этого качества особый математический термин: это симметрии , и они отражают устойчивость к переменам в положении, ориентации и моменте, когда запускаешь свои часы. Если бы не эти (и другие) симметрии, у нас не было бы ни малейшей надежды познать структуру мироздания, поскольку эксперименты пришлось бы усердно повторять в каждой точке пространства (если бы в такой Вселенной вообще была возможна жизнь).

Есть и другая особенность мироздания, стоящая за математическими теориями: это так называемая локальность . Она отражает нашу способность строить «картину в целом», словно пазл, начав с описания самых основных взаимодействий между элементарными частицами.

А теперь мы подошли к последнему кусочку паззла Вигнера: каковы, собственно, гарантии, что математическая теория должна существовать? Иначе говоря, откуда взялась, например, общая теория относительности? Неужели не могло оказаться, что математической теории гравитации не существует ?

Ответ куда проще, чем вы думаете [169] Интересное обсуждение применимости математики приведено в Raymond 2005. Глубокий разбор загадки Вигнера с разных точек зрения можно найти в Wilczek 2006, 2007. . Гарантий нет никаких! Существует множество явлений, которые невозможно точно предсказать – даже в принципе. Под эту категорию подпадают, например, самые разные динамические системы, которые впадают в хаос – когда крошечное изменение в начальных условиях приводит к совершенно разным конечным результатам. В частности, такое поведение характерно для рынка ценных бумаг, для перемен погоды в районе Скалистых гор, для шарика, прыгающего на колесе рулетки, для дыма, поднимающегося от сигареты, и, само собой, для орбит планет в Солнечной системе. Не то чтобы математики не пытались разработать оригинальные модели, позволяющие разобраться хотя бы с некоторыми аспектами этих задач, однако никакой детерминистской предсказательной теории создать невозможно. Для работы в областях, для которых нет теории, которая дает больше, чем в нее вложили, созданы целые отрасли теории вероятности и статистики. Подобным же образом понятие вычислительной сложности очерчивает пределы для наших способностей решать задачи при помощи практических алгоритмов, а гёделевские теоремы о неполноте говорят об определенных ограничениях математики – даже внутренних. Так что математика и в самом деле обладает необыкновенной эффективностью в части некоторых описаний, особенно тех, которые относятся к фундаментальной науке, но все же она не может описать нашу Вселенную со всеми ее измерениями. И ученые в какой-то степени определяют, какие задачи исследовать, на основании того, какие задачи уже поддались математическому подходу.