Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Такая аргументация очень похожа на то, что предлагают когнитивисты. Однако Атья при этом признает, что это объяснение едва ли позволяет ответить на самый наболевший вопрос – как математика объясняет относительно скрытые аспекты физического мира. В частности, оно оставляет в стороне вопрос о «пассивной» эффективности математики (о том, что математические понятия находят практическое применение уже после их изобретения, иногда в далеком будущем). Атья отмечает: «Скептик вправе возразить, что борьба за выживание требует от нас только справляться с физическими явлениями на человеческих масштабах, а математическая теория, однако, успешно описывает явления на любых масштабах, от атома до галактики». Единственное, что приходит в голову по этому поводу, – это: «Возможно, объяснение кроется в абстрактно-иерархической природе математики, которая позволяет относительно легко переходить вверх-вниз по шкале масштабов».

Ричард Хэмминг (1915–1998), американский математик и специалист по теории информации, в 1980 году сделал очень подробный и интересный обзор загадки Вигнера (Hamming 1980). Во-первых, по вопросу о природе математики он пришел к выводу, что «математика создана человеком и поэтому приспособлена для того, чтобы человек постоянно и более или менее бесконечно ее изменял». Далее, он предложил четыре возможных объяснения непостижимой эффективности: это (1) эффект отбора, (2) эволюция математических инструментов, (3) ограниченная способность математики к объяснению и (4) эволюция человека.

Вспомним, что эффект отбора – это искажение результатов эксперимента либо из-за использованного аппарата, либо из-за способа сбора данных. Например, если при испытании эффективности диеты исследователь отбрасывает всех, кто прекратил диету досрочно, это исказит результат, поскольку те, кто отказался продолжать испытание, скорее всего, и есть те, на кого эта диета не подействовала. Иначе говоря, Хэмминг предполагает, что по крайней мере в некоторых случаях «изначальное явление возникает из-за применяемого математического инструментария, а не из реального мира… многое из того, что мы видим, зависит от того, какие на нас очки». В качестве примера он с полным правом приводит возможность показать, что любая сила, симметрично исходящая из точки (и сохраняющая энергию) в трехмерном пространстве ведет себя согласно закону обратных квадратов, а следовательно, не стоит удивляться применимости закона всемирного тяготения Ньютона. Точка зрения Хэмминга прекрасно обоснована, однако фантастическую точность некоторых теорий едва ли можно объяснить эффектом отбора.

Второе возможное решение, которое предлагает Хэмминг, опирается на тот факт, что человек отбирает и постоянно улучшает математические методы с целью приспособить их к той или иной ситуации. То есть Хэмминг предполагает, что мы наблюдаем так называемую «эволюцию и естественный отбор» математических идей: люди изобретают много математических понятий, но отбирают самые приспособленные. Я придерживался этих представлений много лет – и считал, что это все объясняет. Подобную интерпретацию предлагает и физик, нобелевский лауреат Стивен Вайнберг в своей книге «Мечты об окончательной теории» (Weinberg 1993). Так может быть, вот он – ответ на загадку Вигнера? Нет никаких сомнений, что подобный отбор и эволюция и в самом деле происходят. Просеяв целый ряд математических формул и приемов, ученые выбирают рабочий арсенал и тут же совершенствуют или меняют его, если это позволяет получить инструментарий получше. Но даже если мы согласимся с этой идеей, откуда вообще взялись математические теории, способные объяснить устройство Вселенной? Третье соображение Хэмминга состоит в том, что наше представление об эффективности математики вполне может оказаться иллюзией, поскольку в мире вокруг нас полным-полно всего такого, чего математика на самом деле не объясняет. В подтверждение я могу, например, отметить, что математик Израиль Гельфанд, как пишут, сказал однажды (Borovik 2006): «Есть только лишь одна вещь, еще более непостижимая, чем непостижимая эффективность математики в физике. И эта вещь – непостижимая неэффективность [курсив мой. – М. Л. ] математики в биологии». Не думаю, что это само по себе позволяет дать окончательный ответ на загадку Вигнера. В отличие от героев «Автостопом по Галактике», мы не можем сказать, что ответ на все вопросы жизни, Вселенной и всего на свете – сорок два. Тем не менее есть достаточно большое количество природных явлений, которые математика смогла прояснить настолько, что их удалось объяснить . Более того, диапазон процессов и фактов, которые можно интерпретировать при помощи математики, постоянно расширяется.

Четвертое объяснение Хэмминга очень похоже на то, которое предлагает Атья: «Дарвиновская эволюция в результате естественного отбора дает больше шансов на выживание тем живым существам, разум которых создал лучшие модели реальности – здесь слово “лучшие” означает лучше всего подходящие для выживания и размножения».

Похожих взглядов, но с особым упором на роль логики придерживался и специалист по компьютерным интерфейсам Джеф Раскин (1943–2005), который запустил в компании «Эппл» проект «Макинтош». Раскин полагал так (Raskin 1998)

человеческая логика навязана нам физическим миром и именно поэтому ему соответствует. Математика происходит из логики. Вот почему математика соответствует физическому миру. Здесь нет никакой загадки – хотя нельзя утрачивать способность удивляться и восхищаться природой вещей, даже научившись лучше ее понимать.

Хэмминга даже собственные доводы не настолько убеждали. Вот на что он указывал.

Если взять 4000 лет научной эры, то получится, что миновало – если брать максимальную оценку – 200 поколений. Учитывая, что эволюция человека, которую мы стремимся обнаружить, происходит посредством отбора небольших случайных вариаций, я сомневаюсь, что она способна объяснить непостижимую эффективность математики, разве что лишь самую малую ее часть.

Раскин утверждал, что «основы математики заложены давным-давно в наших предках, возможно, за миллионы поколений до нас». Однако я должен сказать, что мне этот аргумент не кажется таким уж убедительным. Даже если логика была укоренена в мозге наших предков, непонятно, каким образом эта способность могла привести к отвлеченным математическим теориям субатомного мира, например, к квантовой механике с ее невообразимой точностью.

Примечательно, что Хэмминг завершил свою статью допущением, что «всех объяснений, которые я привел, совокупно все равно не хватает, чтобы объяснить то, о чем я веду здесь речь» (то есть непостижимую эффективность математики).