Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Неужели нам придется в заключение сделать вывод, что эффективность математики так и остается загадкой и с начала книги ничего не изменилось?

Прежде чем опускать руки, давайте попробуем вычленить суть загадки Вигнера, а для этого рассмотрим так называемый научный метод . Сначала ученые узнают различные факты о природе посредством наблюдений и экспериментов. Эти факты прежде всего ложатся в основу каких-то качественных моделей изучаемого явления (например, Земля притягивает яблоки, элементарные частицы при столкновении способны порождать другие частицы, Вселенная расширяется и так далее). Во многих областях естественных наук теории вполне могут даже развиваться, оставаясь нематематическими. Один из лучших примеров прекрасной, многое объясняющей теории такого рода – это дарвинова теория эволюции. Хотя идея естественного отбора не основана ни на каких математических формулах, она достигла замечательных успехов в объяснении происхождения видов. А вот в фундаментальной физике следующим шагом обычно становится попытка построить математическую, количественную теорию (например, общую теорию относительности, квантовую электродинамику, теорию струн и так далее). Наконец, исследователи, опираясь на эти математические модели, предсказывают новые явления, новые частицы и результаты еще не проводившихся экспериментов и наблюдений. Вигнера и Эйнштейна удивлял и восхищал именно невероятный успех последних двух процессов. Как так получается, что физикам раз за разом удается находить математические инструменты, которые не просто объясняют уже существующие результаты экспериментов и наблюдений, но и приводят к совершенно новым озарениям и предсказаниям?

Чтобы ответить на этот вопрос, приведу прекрасный пример, который придумал математик Реубен Херш. Херш предполагал, что, как это делается в многих подобных случаях в математике (и, разумеется, в теоретической физике), нужно разбирать простейший возможный случай [167] См. превосходную статью Херша в сборнике Hersh 2000. . Рассмотрим тривиальный на первый взгляд эксперимент: будем класть черные и белые шарики в непрозрачный кувшин. Представьте себе, что сначала вы кладете четыре белых камешка, а потом семь черных. В какой-то момент в истории человечества люди поняли, что для некоторых целей можно описывать собрание шариков любого цвета абстрактным понятием, которое они изобрели, – натуральным числом. То есть собрание белых камешков можно связать с числом 4 (или IIII, или IV – на этом месте может стоять любой символ, каким пользовались в те времена), а черных – с числом 7. Посредством экспериментов первого типа, о которых я писал выше, люди также открыли, что другое изобретенное ими понятие, арифметическое действие сложения, точно описывает физический акт объединения. Иначе говоря, результат абстрактного процесса, символически обозначаемого как 4 + 7, однозначно предсказывает, каково будет в итоге количество шариков в кувшине.

Что все это значит? Это значит, что люди разработали потрясающий математический инструмент – способ надежно предсказывать результат любых экспериментов подобного рода! И инструмент этот совсем не так тривиален, как может показаться, поскольку он не подходит, к примеру, для капель воды. Если накапать в кувшин четыре капли воды, а потом добавить еще семь, одиннадцать отдельных капель не получится. Более того, чтобы делать прогнозы относительно результатов подобных экспериментов с жидкостями (или газами), людям пришлось изобрести совершенно другие понятия, например вес, и понять, что нужно взвешивать отдельно каждую каплю воды или какой-то объем газа.

Мораль ясна. Математические инструменты выбирались не произвольно, а вполне целенаправленно – исходя из того, насколько точно они способны предсказывать результаты тех или иных экспериментов и наблюдений. Так что, по крайней мере, в этом случае, очень простом, их эффективность, в сущности, гарантирована.

Людям не надо было заранее гадать, какой будет точная математика. Природа щедро дала им возможность определять, что им подходит, а что нет, методом проб и ошибок. Еще им не нужно было во всех случаях обходиться одними и теми же инструментами. Иногда оказывалось, что подходящего математического метода для той или иной задачи не существует, и кому-то приходилось его изобретать (как Ньютон изобрел интегральное и дифференциальное исчисление или современные математики изобрели множество топологических и геометрических приемов в рамках нынешней работы над теорией струн). А иногда метод уже существовал, но предстояло еще открыть, что это готовое решение, которое дожидается подходящей задачи (как в случае, когда Эйнштейн прибег к помощи римановой геометрии или физики-ядерщики – к теории групп). Все дело в том, что пылкое воображение, непоколебимое упорство, неуемное любопытство и пламенная целеустремленность позволили людям найти подходящие математические методы для моделирования огромного количества физических феноменов. Среди прочих качеств математики главным для так называемой «пассивной» эффективности оказалась ее надежность – все, что доказано, остается доказанным практически навечно. Евклидова геометрия в наши дни точно так же точна, как и в 300 году до н. э. Теперь мы понимаем, что без ее аксиом можно обойтись, и что это не абсолютные истины, описывающие пространство, а истины, описывающие определенную вселенную, воспринимаемую человеком, и математическую модель этой Вселенной, изобретенную человеком. Тем не менее, в заданных рамках все теоремы Евклида остаются истинными. Иначе говоря, отдельные ветви математики еще надо встроить в более крупные и обобщенные ветви (в частности, евклидова геометрия – всего лишь одна из возможных версий геометрии), однако корректность в пределах одной ветви сохраняется. И эта неопределенная долговечность позволяла ученым всех эпох искать подходящие математические инструменты в накопившемся арсенале разработанных математических методов и моделей.

Простой пример с шариками в кувшине все же не затрагивает двух составляющих загадки Вигнера. Во-первых, остается неясным, почему в некоторых случаях мы получаем теорию куда большей точности, чем была в нее заложена. В эксперименте с шариками точность «предсказанного» результата (накопление другого количества шариков) не выше, чем точность экспериментов, которые ранее привели к формулировке «теории» (арифметического сложения). С другой стороны, ньютонова теория всемирного тяготения, как оказалось, гораздо точнее, чем результаты наблюдений, которые привели к ее созданию. Почему? Некоторое представление об этом может дать краткий пересмотр истории создания этой теории.