Георгий Гамов - Занимательная математика

Самолет-заправщик, отдав все имевшееся у него топливо, совершает посадку, а остальные 8 самолетов с полностью заправленными топливными баками продолжают полет. Следующие дозаправки производятся, когда запас топлива в баках калсдого самолета уменьшится на 1/8, 1/7 и т. д., пока не останется один-единственный самолет, на борту которого находится бомба. Израсходовав все топливо до последней капли, он достигает цели и сбрасывает бомбу.

Обозначив дальность полета без дозаправки через R, количество самолетов — через п, мы получаем формулу для расстояния до цели, которое может преодолеть самолет — носитель бомбы:

Например, при n= 10 сумма в квадратных скобках равна 2.929. Это означает, что при такой схеме дозаправки, о которой я только что рассказал, можно долететь до цели, находящейся почти втрое дальше, чем позволяет дальность полета отдельно взятого самолета. [16] Читатель, должно быть, уже заметил, что в квадратных скобках стоит тот же бесконечный ряд, с которым мы уже сталкивались в задаче о наклонном столбике из домино.

Книга была написана. Мы втроем, Гамов, Стерн и еще один любитель задач-головоломок Теодор фон Карман, [17] Теодор фон Карман — выдающийся специалист в области аэродинамики. сидели в ресторанчике в Вудз Хоул за бутылкой сливовицы. Возник вопрос, поровну ли поделен крепкий напиток.

— Предположим, что все трое из нас — законченные эгоцентристы. Можем ли мы разделить сливовицу так, чтобы каждый из нас был удовлетворен, если ему достанется не меньше сливовицы, чем любому другому? — спросил Гамов. — Мы хорошо знаем, как решается эта задача в случае, когда спорят двое завистливых детей. Один из спорщиков делит предмет спора на две части, которые он считает равноценными, а другой получает право выбрать любую из двух частей по своему усмотрению. Как следовало бы обобщить эту задачу о справедливом разделе на случай трех участников спора?

Фон Карман, улыбнувшись, обратился к Стерну:

— Позвольте мне слегка переформулировать задачу, после чего вы, я в этом просто уверен, не сможете не решить ее. Рассмотрим задачу, которая ставится так: каждый из нас должен быть удовлетворен, если ему достанется по крайней мере причитающаяся ему доля сливовицы (т. е. по крайней мере 1/3 содержимого бутылки). Теперь для вас не составит труда решить задачу.

— Действительно, кажется, я понял, как решить задачу, — сказал Стерн. Фон Карман делит сливовицу на три порции, которые он считает равными, и поэтому будет удовлетворен, получив любую из них.

Если Гамов считает, что в рюмке А сливовицы больше, чем в В или С, а я считаю, что больше всего сливовицы налито в рюмку В, то никаких осложнений не возникает. Гамов берет себе рюмку А, я — рюмку В, а фон Карман получает рюмку С. Затруднение может возникнуть только в том случае, если и Гамов, и я сочтем, что больше всего сливовицы оказалось налитой в рюмку А. Но и в этом случае, если мы оба согласимся, что в рюмке В сливовицы больше, чем в рюмке С, то задача существенно упрощается. Гамову и мне необходимо разделить содержимое рюмок В и С так, как это делают двое детей в задаче о честном разделе, а фон Карману достанется рюмка С.

Единственная трудность возникает в том случае, когда и Гамов и я сочтем, что больше всего сливовицы в рюмке А, но при этом Гамову будет казаться, что в рюмке В сливовицы больше, чем в рюмке С, а мне — что в рюмке С сливовицы больше, чем в рюмке В. В этом случае я предоставлю Гамову разделить содержимое рюмок А и В так, как ему кажется будет поровну. При этом он перельет часть сливовицы из рюмки А в рюмку В.

Если после переливания я буду по-прежнему думать, что в рюмке А сливовицы больше, чем в любой из двух остальных рюмок, и возьму ее себе, то Гамову не останется ничего другого, как выбрать рюмку В, поскольку до переливания он считал, что меньше всего сливовицы в рюмке С, а это означает, что в С заведомо меньше 1/3 всей сливовицы.

Разумеется, фон Карман предпочел бы выбрать рюмку В, так как после того, как он разлил поровну (как ему казалось) сливовицу по трем рюмкам, Гамов добавил в В сливовицы из рюмки А. Но поскольку задача сформулирована так, что каждый из нас должен быть удовлетворен, если получит по крайней мере причитающуюся ему долю спиртного, т. е. 1/3 всей сливовицы, фон Карман не сможет протестовать, даже если Гамов выберет рюмку В.

Если же после того, как Гамов отольет сливовицу из рюмки А в рюмку В, то в силу тех же соображений я бы выбрал рюмку В. Гамов довольствовался бы рюмкой А, а фон Карману досталась бы рюмка С.

Если бы после переливания я решил выбрать рюмку С, то фон Карман мог бы взять рюмку В, а Гамов должен был бы взять рюмку А.

Выслушав решение, фон Карман улыбнулся:

— Теперь вы понимаете, почему я слегка изменил условия задачи?

Вместо того чтобы каждый из нас считал себя удовлетворенным, если ему досталось по крайней мере столько же сливовицы, сколько любому из остальных, я предложил, чтобы каждый из нас довольствовался, получив не менее причитающейся ему честной доли 1/3 сливовицы.

Один из этапов вашего решения показывает, что задача в первоначальной формулировке неразрешима.

Эту головоломку, мне кажется, можно по праву отнести к проблемам с моралью из области человеческих отношений.

Принятые в Квазиабабии торговые единицы веса воспроизводят систему единиц, имевших хождение в Англии, США и Странах Содружества до введения метрической системы. В 1 торговом фунте 16 унций (453,59 г). В 1 унции 28,35 г. (Унция делилась на 16 драхм {по 1,77 г), драхма — на 3 скрупулы (по 0,59 г) и скрупула — на 10 гран (но 0,059 г)). — Прим. перев.

Великий султан предполагает в своих рассуждениях, что соотношение мальчиков и девочек равно. Это не вполне корректно с точки зрения биологии. — Прим. авт .

Сюжет этой истории сообщил одному из нас (Г. Г.) проф. Виктор Амазаспович Абмарцумян. (Академик В. А. Амбарцумян — выдающийся астрофизик. — Прим. перев .)

Сюжет этой истории сообщил одному из нас (Г. Г.) проф. Альберт Сент-Дьерди.

(Известный биохимик, один из основоположников биоэнергетики. — Прим. перев .)

В предлагаемом варианте объяснение непосредственно применимо и к задаче о лифтах, о которой шла речь в прологе.