Филип Болл - Музыкальный инстинкт. Почему мы любим музыку

Решение всех этих проблем в принципе было достаточно ясным. Если октава просто делится на двенадцать равных хроматических шагов, каждый из которых состоит из полутона, то последовательность идентичных по высоте шагов, таких как последовательность мажорного звукоряда тон-тон-полутон-тон-тон-тон-полутон, может начинаться с любой ноты и всегда звучать одинаково. Вопрос заключается в том, каким должен быть это базовый интервал? Не отрекаясь от идеи о каком-либо относительно простом соотношении частот, отец Галилео Галилея, Винченцо, который учился в традиции Царлино, в 1581 году предположил, что повышение полутона должно совпадать с увеличением частоты на фактор 18/17. Двенадцать таких шагов повышают первоначальную частоту примерно на 1.9855, что очень близко к идеальному фактору 2. Но это означало бы, что интервалы в октаву, квинту и кварту лишатся своих идеальных ценных качеств – они окажутся немного снижены, что было бы грубейшим оскорблением классической идеи о гармонии, поэтому предложение не было принято.

Нужно было точное решение проблемы; его открытие произошло практически одновременно в двух разных местах, в Китае и Голландии. Только один фактор, который умножается сам на себя двенадцать раз (по разу на каждый полутон), способен дать точное удвоение частоты, и это корень из двух в двенадцатой степени 12√2 или 2 1/12. Такое определение полутона давало более «идеальное» звучание квинт и кварт, чем предложенное Винченцо Галилеем соотношение 18/17: кварта больше тоники на фактор 1.3348 (по сравнению с пифагорейской 4/3 или 1,3333), а квинта на 1,4983 (по сравнению с 3/2 или 1,5).

Эта система называется равномерной темперацией. Впервые она была опубликована в 1584 году китайским ученым Чжу Цзайюем, принцем династии Мин, а фламандский математик Симон Стевин выдвинул ту же идею годом позже. Некоторые утверждают, что Стевин был знаком с концепцией Чжу, что вполне может быть правдой: с 1580 года каждые два года в португальской колонии Макао в дельте Жемчужной реки проходила торговая ярмарка, где европейцы и китайцы обменивались не только товарами, но и идеями; однако прямая связь между Чжу и Стевиным не установлена. В дальнейшем система равномерной темперации была развита в начале семнадцатого века Мерсенном, несмотря на его пристрастие к инструментам с натуральным строем.

Однако у системы равномерной темперации существует философский недостаток, ведь 2 1/12не только сложное число, но еще и иррациональное, то есть его нельзя представить в виде дроби целых чисел. А как же гармоничная математика пифагорейской концепции музыки? Стевина это не тревожило. Что такого особенного в пифагоровой квинте, спрашивал он, если она ведет к полутону, основанному на жутком соотношении 256/243? С точки зрения математика 2 1/12 – весьма утонченная цифра, и если кто-то думает иначе, это его личные проблемы.

Множество людей с ним не соглашалось, а многие не согласны до сих пор: они настаивают, что система равномерной темперации нанесла ущерб «правильной» гармонии и заставила ее звучать грубо по сравнению с более ранними альтернативными вариантами строя. Герман фон Гельмгольц, немецкий физиолог, который в девятнадцатом веке стоял у истоков понимания акустики, утверждал, что равномерная темперация «неприятна для неиспорченного слуха». В самом деле, разницу между двумя системами нельзя было не заметить: интервал большая терция вызывал самые большие споры. В системе равномерной темперации он был выше почти на один процент, чем в чистом строе, а для большинства людей эта разница прекрасно слышна. Как мы вскоре убедимся, любые споры на тему «превосходства» одной системы настройки над другой лишены основания и в целом сводятся к разговорам о том, кто к чему больше привык. [12] В своей смелой и увлекательной книге «Как равномерная темперация уничтожила гармонию» («How Equal Temperament Ruined Harmony») музыковед Росс Даффин полагает отличия равномерной темперации настолько очевидными, что не считает нужным привлекать ни одного теста на восприятие в поддержку своей идеи. Единственное доказательство, которое он приводит, это записи о реакции людей на эксперименты с генераторами тона, что в контексте акустики не имеет никакого смысла.

Несколько других примеров «циклической» настройки, которые были предложены с начала шестнадцатого века, ставили перед собой цель замкнуть цепь квинт и таким образом позволить модуляцию в любую тональность без появления фальшивых нот. В угоду этой цели чаще всего страдали квинты: интервалы получались разной длины, обычно короче на белых клавишах и длиннее на черных. Немецкий теоретик музыки Андреас Веркмейстер предложил подобные схемы в конце семнадцатого века, назвав их «wohl temperiert» («хорошо темперированные»). Продолжаются споры и о том, написал ли И. С. Бах «Хорошо темперированный клавир» – сборник прелюдий и фуг во всех двадцати четырех мажорных и минорных тональностях – для хорошей темперации или для равномерной темперации. Как бы то ни было, его произведение демонстрировало преимущество замкнутой системы настройки, которая позволяла композитору в равной мере пользоваться всеми тональностями. Лучшей рекламы нельзя было вообразить, но даже она не смогла обеспечить всеобщего принятия равномерной темперации вплоть до девятнадцатого века.

Задача до сих пор остается нерешенной: математически невозможно найти какой-либо строй, который можно модулировать в любую тональность с сохранением соотношения простой пропорции частот, таких как чистая квинта, кварта и октава. Ученый-акустик Уильям Сетарес предложил гениальное решение, которое пользуется произвольными способами настройки электронных инструментов. Он разработал алгоритм Adaptun, который позволяет электронной клавиатуре адаптировать свой строй в режиме реального времени нота за нотой, чтобы найти «идеальные» интервалы в любой момент музыки. Для использования алгоритма не нужно обладать знаниями о тональности музыки – программа просто находит наилучший вариант «частной настройки» для каждой комбинации нот. Вы можете прослушать результат работы Adaptun на сайте Сетареса и на CD http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/.

Очевидно, что попытки свести европейскую музыкальную гамму к чистой математике – и таким образом отыскать «натуральный» базис музыки – быстро привели к новым проблемам. Существует, однако, интересный способ построения гамм с точки зрения такого направления физики, как акустика. Как и «гармоничную пропорцию» Пифагора, ее столь же упорно и столь же опрометчиво приводили в качестве доказательства превосходства диатонической шкалы в течение нескольких сотен лет.

Тональность характеризуется двумя музыкальными структурами: гаммой и трезвучием, состоящим из нот 1,3 и 5: до-ми-соль в до мажор. В комбинации или пермутации эти три ноты звучат гармонично: они как будто «подходят» друг к другу. [13] Как я уже сказал, на самом деле существует семь разных типов минорной гаммы для каждой тональности.