Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

Пуанкаре считает, что нахождение правильного пути является плодом длительной подсознательной деятельности. Я не могу с этим согласиться, во всяком случае такое предположение не обязательно. В качестве яркого примера он приводит случай, когда внезапно был озарён догадкой о том, что группа, связанная с автоморфной функцией, есть та же самая группа, что имеет место в неевклидовой геометрии.

На мой взгляд, имело место другое. В его уме были представления об обеих группах. Первая группа, связанная с автоморфной функцией, которую он искал, и вторая лежала в голове готовая — это группа преобразований в плоскости Лобачевского. Догадка или переход заключался в том, что группы эти одинаковы.

Пуанкаре сразу уверовал в это и считал это плодом длительной подсознательной работы. В действительности же утверждение потребовало дальнейшей проверки и оказалось правильным. Оно, вероятно, было одним из многих предположений, которые он делал и которые оказывались неправильными. Его гений заключался в том, что он быстро отметал неправильные пути и быстро делал всё новые и новые попытки, прежде чем попал на правильное решение вопроса.

Мне кажется, не следует преувеличивать активную роль подсознания в человеческом мышлении. Подсознанию я отвёл бы роль склада, в котором хранятся накопленные человеком представления, т.е. роль пассивной памяти. Может ли этот склад внезапно выбросить на поверхность сознания без запроса последнего какое-то представление? Я пытался выяснить этот вопрос с помощью наблюдений. Много раз, обнаружив, что в моём сознании появился какой-то новый образ, я старался найти объяснение этому проявлению и всегда обнаруживал, что между тем предметом, о котором я сознательно думал, и вновь появившимся существует вполне сознательная цепочка промежуточных представлений, каждое следующее из которых связано с предыдущим близкой ассоциацией. Все эти ассоциации можно было припомнить, так как они находились в моём сознании, а вовсе не в подсознании. Последний, конечный пункт этой цепочки не был, таким образом, выброшен спонтанно моим складом, а появился в результате ассоциативных переходов от одного звена к другому. Мы с женой очень часто замечаем, что у нас одновременно из подсознания всплывало одно и то же представление, хотя о нём мы и не говорили. Но нам всегда удавалось установить ту цепочку вполне сознательных переходных ассоциаций, которая вела к новому объекту от того, который был предметом нашего сознательного внимания в данный момент. Таким образом, исключалась и возможность передачи на расстоянии мысли от одного из нас к другому. Цепочка ассоциаций, ведшая к новому предмету мышления, была одинаковой, поскольку мы привыкли одинаково думать.

С другой стороны, я замечал, что при активном занятии математикой первая мысль после сна, появлявшаяся в моей голове, являлась продолжением той, с которой я засыпал. Точно так же не ясно, как возникают образы сновидений. Таким образом, нельзя утверждать, что каждый предмет мышления возникает в результате внешнего воздействия.

Я думаю, однако, что внезапно возникшее, по мнению Пуанкаре, в его уме представление о совпадении групп автоморфных преобразований и групп преобразований плоскости Лобачевского в действительности появилось не внезапно, а было вызвано цепочкой ассоциаций, исходным пунктом которой было внешнее впечатление, быть может, ручка омнибуса, за которую он держался, сходя со ступенек, или те же самые ступеньки. Какова была цепочка, ведущая от них или ручки к группам, сказать невозможно, но думаю, что она была.

К роли подсознательного мышления относится и вопрос о том, что такое математическая интуиция. Под ней обычно понимают способность человека прозревать истину или правильный путь решения задачи. Я же думаю, что интуиция представляет собой в какой-то степени автоматизированный опыт мышления, накопленный в результате большой деятельности. Некоторые отдалённо связанные между собой математические представления уже настолько хорошо проассоциированы в голове человека между собой, что переход от одного к другому не требует цепочки коротеньких ассоциаций, а совершается одним скачком. Возможность такого скачка является результатом опыта математического мышления. Большой труд, приводящий в результате к созданию множества ассоциаций, — вот основа математического творчества.

Занимаясь, математик не совершает сложного пути мелких ассоциаций, а сразу делает как бы «прыжки» от одного представления к другому, которое связано у него ассоциациями, вызывая одно другое. По себе я знаю, что, обладая довольно умеренной памятью, нужной для таких вещей, как, например, запоминание стихов, изучение иностранных языков, я обладаю исключительно хорошей ассоциативной памятью, которая даёт мне возможность заниматься математикой. Я иногда использую свою ассоциативную память там, где нужна какая-то другая память, создавая искусственные ассоциации. Так, например, в детстве немецкое слово «brücke» — «мост» я ассоциировал с представлением о брюках, повешенных над рекой. И эта ассоциация действует до сих пор. Соответствующее слово «bridge» английского языка, который я знаю гораздо лучше немецкого, и теперь даётся мне гораздо хуже, чем немецкое «brücke».

В своей научной работе я пришёл от задачи гомотопической классификации отображения сферы размерности n + k на сферу размерности n к проблеме изучения оснащённых гладких многообразий размерности k , расположенных в ( n + k )-мерном евклидовом пространстве. Последовательные этапы установления этой связи были описаны мною выше.

Сперва я пришёл к локализации задачи. От локальной задачи пришёл к дифференциальному её описанию, а затем уже к гладкому многообразию размерности k , расположенному в ( n + k )-мерном евклидовом пространстве, и к полю ортонормальных систем векторов, заданному в каждой точке этого многообразия. В этом построении ясно видны промежуточные этапы, каждый из которых дался мне не без труда, причём при построении их я руководствовался разного рода ассоциациями и привычными уже для меня представлениями. Наметив несколько промежуточных этапов, которые здесь описаны, я доказал, что гомотопическая классификация отображения ( n + k )-мерной сферы на n -мерную сферу эквивалентна некоторого рода классификации оснащённых многообразий. Следующий этап — переход от оснащённых многообразий к характеристическим циклам многообразий M k — уже не приводит к эквивалентности математических утверждений, а лишь намечает путь, на котором можно изучать оснащённые многообразия. Это предположительный путь, который иногда даёт результаты. Оказалось, однако, и это типично для математического исследования, что характеристические циклы имеют гораздо более широкие применения, чем изучение оснащённых многообразий.