Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

Таким образом, в каждой точке x многообразия M k построены n линейно независимых векторов v 1( x ), ..., v n ( x ). Ортонормируя систему векторов v 1( x ), ..., v n ( x ), мы получим ортонормированную систему векторов w 1( x ), ..., w n( x ) в каждой точке х многообразия M k . Многообразие M k , в каждой точке которого задана ортонормальная система векторов, ортогональных к нему, я назвал оснащённым многообразием. В том случае, когда многообразие A представляет собой сферу S n + k , оснащённое многообразие M k однозначно определяет гомотопический класс отображений, из которого оно возникло при помощи точки p . От сферы S n + k легко перейти к евклидову пространству E n + k . Таким образом, проблему классификации отображений сферы S n + k на сферу S n я свёл к проблеме изучения оснащённых многообразий M k в евклидовом пространстве E n + k . Нужно было посмотреть, что делается с оснащённым многообразием M k , когда отображение f гладко деформируется. Это и было мною сделано.

Таким образом, я пришёл к проблеме изучения гладких многообразий M k , расположенных в евклидовом пространстве E n + k (заменяю здесь n на l) и для их изучения ввёл характеристические циклы многообразия M k , гомологические классы. Дам здесь их определение.

В евклидовом пространстве E k +1проведём через некоторую точку O все k -мерные ориентированные плоскости размерности k и обозначим через H ( k , l) многообразие, составленное из этих плоскостей. В каждой точке x многообразия M k проведём касательную к нему плоскость Т х . Обозначим через T ( x ) плоскость из многообразия H ( k , l), параллельную плоскости T x . Таким образом, возникает отображение T многообразия M k в многообразие H ( k , l ). Это отображение я назвал тангенциальным отображением . Для многообразия H ( k , l) я нашёл все циклы с точностью до гомологии. Если Z — некоторый цикл из H ( k , l ), то он высекает на многообразии T ( M k ) некоторый цикл Y , прообраз которого Q в многообразии М k и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия M k . Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т.е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия M k ; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия M k ? Эту задачу я пытался решить, но не сумел.

Много лет спустя С. П. Новиков доказал, что если рассматривать характеристические классы над полем рациональных чисел, то они являются инвариантами топологического многообразия M k , т.е. не зависят от введённой на нём гладкости. Характеристические классы конечного порядка, напротив, не являются инвариантами топологического многообразия M k . Это было установлено и сыграло также существенную роль для решения некоторых важных задач. В частности, это обстоятельство было использовано для доказательства того, что на топологической сфере можно ввести различные гладкости, не эквивалентные между собой.

Связь между гомотопической классификацией отображений сферы S n + k на сферу S n и теорией гладких многообразий была установлена мною отнюдь не в 1936 году, а гораздо позже, когда я старался упростить доказательство, которое для k =1, 2 первоначально было чудовищно сложно, а также старался решить задачу классификации отображений для k ≥3. Мне кажется, что характеристические циклы были построены мною ещё до войны, но первая публикация была дана только в 1942 году 14. Существенно упростить решение задачи для k =1 и k =2 мне удалось. Решить задачу для k ≥3 не удалось, несмотря на все мои усилия.

Попытки решить эту задачу продолжались несколько лет. Точно так же несколько лет я занимался гладкими многообразиями, в частности оснащёнными, а также характеристическими классами.

Эта деятельность была закончена мною в начале 50-х годов и завершилась чтением курса лекций на эту тему. Затем была опубликована монография «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» в 1955 г. в «Трудах Математического института» [35] Книга «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» была опубликована в 1955 г. (М.: изд-во АН СССР), второе издание в 1976 г., третье — в 1985 г. Опубликована также в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. .

Несмотря на то, что я не сумел решить задачу для k ≥3, результаты, полученные мною по теории гладких многообразий, оказались существенными и вошли в топологию гладких многообразий. Независимо от меня задачей классификации отображений S n + k на S n занимался Лере, но совершенно на другом пути. Его первоначальные публикации, подводящие к решению этой проблемы, были крайне формалистичны, и совершенно не видно было, к чему они ведут. Так что я только попытался их изучить, а потом бросил.

В конечном счёте Лере на своём пути решил задачу классификации отображений сферы S n + k на сферу S n при произвольном k . Этим самым моя многолетняя работа в этой области была мною закрыта. Это послужило одной из причин, по которым я полностью бросил топологию и занялся прикладными проблемами. Впрочем, для этого были и более существенные причины. Об этом, однако, я расскажу позже.

Математик не скажет: «Я работал», он скажет: «Я занимался». Это значит, он занимался математикой. Может быть, читал математическую работу, может быть, старался доказать новую теорему, может быть писал собственную работу, излагая уже полученные результаты. Обо всём этом говорится: «занимался».

Иногда мне задают вопрос: в чём состоит кухня математического творчества, или иначе: в чём заключается кухня математических занятий, т.е. как получаются новые математические результаты. Полноценного ответа на этот вопрос, я думаю, дать нельзя. Один из героев А. С. Пушкина («Египетские ночи») говорит: «Всякий талант неизъясним». Подражая Пушкину, можно было бы сказать: процесс математического творчества неизъясним.