Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

Двойственность у пифагорейцев

Пары противоположных свойств играли важную роль в философии пифагорейцев. Аристотель писал о них в своей "Метафизике": "Пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое".

Из этих пар противополижностей 1-я, 4-я,7-я и 10-я пары относятся к геометрии, 2-я и 3-я - к арифметике, 5-я - к биологии, 6-я - к механике, 8-я - к физике, 9-я - к этике. Пифагорейцы рассматривали все эти пары противоположностей вместе потому, что они не выделяли отдельных наук из единой универсальной науки.

В каждой паре противоположностей первую пифагорейцы считали совершенной, а вторую - несовершенной.

Пифагорейцы отождествляли единицы не только с точками, но и с душами неродившихся или умерших людей, а вещи, в том числе тела людей, отождествлялись с числами, поэтому пифагорейская пара противоположностей "единое и множество" по существу совпадает с парой "душа и тело".

Пара противоположностей "единое и множество" - такая же древняя, как пара "душа и тело". Первоначально это были два первых числа, впоследствии второе из этих двух "чисел" превратилось в число 2, и "чисел" стало три - 1, 2 и "много". Затем это новое "много" превратилось в число 3 и появился числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, "много". Впоследствии и этот ряд расширился и последнее слово "много" превратилось в число 7. О том, что слово "семь" первоначально обозначало неопределенно большое количество, свидетельствуют русские пословицы "семь бед - один ответ", "у семи нянек дитя без глаза", "один с сошкой - семеро с ложкой", "семь раз отмерь, один раз отрежь". Позже такими числами, названия которых прежде обозначали неопределенно большое количество, стали 12 и 40. Числа 2, 3, 7, 12 и 40 и позже сохранили мистический характер, этим объясняется особая роль этих чисел во многих религиях и культурах.

Среди 7 "планет" древности - Солнца, Луны и пяти планет - имеются две пары, соответствующие пифагорейским противоположностям: Солнце и Луна, соответствующие "свету и тьме" и Марс и Венера, соответствующие "мужскому и женскому", которые часто обозначаются знаками этих планет. Если из 7 "планет" удалить эти две пары, мы получим "античную троицу" - отца - Кроноса-Сатурна, сына- Зевса-Юпитера и вестника богов - Гермеса- Меркурия. Античная троица значительно ближе к христианской, чем индийская троица Брахма - Вишну - Шива.

Симметричная и асимметричная двойственность

Из десяти пар противоположностей пифагорейцев шесть пар - 1-я, 2-я 4-я, 5-я, 8-я и 9-я симметричны, а другие четыре пары - 3-я, 6-я, 7-я и 10-я асимметричны.

Симметричными и асимметричными бывают и другие двойственности. Например, принцип двойственности проективной геометрии и все принципы двойственности Картана совершенно симметричны, а "двойственность по Картану", определенная Гельфандом, асимметрична. Асимметрична и двойственность между эллиптическим пространством с мнимым абсолютом и гиперболическим, псевдоэллиптическими и псевдогиперболическими пространствами с вещественными абсолютами: группа движений эллиптического пространства компактна, а группы движений остальных пространств некомпактны. Асимметрична и двойственность между эллипсом и "парой противоположных гипербол", которую подчеркивал Аполлоний, и между окружностью и равносторонней гиперболой, на которую мы обращали внимание, говоря об алгебраическом трактате Хайяма.

Симметричной является двойственность между замкнутыми и открытыми множествами в топологии, между операциями пересечения и объединения множеств в теории множеств, между конъюнкцией и дизъюнкцией в математической логике, и между аналогичными операциями во многих областях математики.

Примером двойственности в математике является сопоставление коммутативной группы и ее группы характеров. Характером коммутативной группы называется гомоморфное отображение этой группы в группу комплексных чисел единичного модуля. Характеры коммутативной группы сами образуют коммутативную группу. В случае конечных коммутативных групп группа характеров коммутативной группы G, как показал Г.Ф.Фробениус, изоморфна самой группе G и двойственнисть между группой и ее группой характеров симметрична. В случае бесконечных коммутативных групп группа G и ее группа характеров G* уже не изоморфны, но, как показал Л.С.Понтрягин, в случае, когда группа G компактна, группа G* дискретна, а в случае, когда группа G дискретна, группа G* компактна, и двойственность между компактными группами и их группами характеров асимметрична.

Двойственность в зороастризме и в учении "Инь-ян"

Пары противоположностей, аналогичные пифагорейским, имелись у персидских зороастрийцев и в китайском учении "Инь-ян".

Религия зороастрийцев была основана на борьбе доброго бога Ахура- Мазды (Ормузда) и злого бога Ахгра-Майню (Ахримана). С этими богами были связаны противоположности "свет и тьма", "Солнце и Луна", "тепло и холод", "добро и зло".

Учение "Инь-ян", на котором были основаны наука и образование в древнем и средневековом Китае, связано с противоположностями "солнечная погода и дождь", "весна-лето и осень-зима", "Солнце и Луна", "свет и тьма", "мужское и женское", "положительное и отрицательное", "небо и земля".

Возможно, что между пифагорейцами и древними персами имелись связи; o связях между древними персами и китайцами мы упоминали в предыдущей главе. Двойственность зороастризма, несомненно, определила двойственность "отца диалектики" Гераклита, который учился у зороастрийских жрецов.

Двойственность в Библии

Первая книга Библии "Бытие" начинается такими словами: "В начале сотворил Бог небо и землю. Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною; и Дух Божий носился над водою. И сказал Бог: да будет свет. И стал свет. И увидел Бог свет, что он хорош ; и отделил Бог свет от тьмы. И назвал Бог свет днем, а тьму ночью". Мы видим, что согласно Библии сотворение мира было результатом воздействия Духа Божьего на материю, не имеющую формы - на воду. В результате появились противоположности - небо и земля, свет и тьма.

Далее, согласно Библии, Бог создал элементы, минералы, растения, животных.

В шестой день "сотворил Бог человека по образу Своему, по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их... И создал Господь Бог человека из праха земного, и вдул в лице его дыхание жизни, и стал человек душею живою".

Сотворяя человека Бог создал еще две противоположности - душу и тело, мужчину и женщину - Адама и Еву.

Двойственность у Платона

Вселенная Платона состояла из трех миров: 1) мира "идей", 2)"пространства", 3) мира "рожденных". Платон писал в "Тимее" : "Приходится признать во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни былo и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и внонь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В- третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но самовоспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию непременно должно быть где-то, в каком- то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует".