Журнал «Знание-сила» - Знание-сила 1998 № 06(852)

Обычно говорят, что мир, как и всякое тело, имеет три измерения, которым соответствуют три разных направления, скажем, «высота», «ширина» и «глубина». Кажется ясным, что «глубина», изображенная на плоскости рисунка, сводится к «высоте» и «ширине», является в некотором смысле их комбинацией. Так же ясно, что в реальном трехмерном пространстве все мыслимые направления сводятся к каким-то трем заранее выбранным. Но что означает «сводятся», «являются комбинацией»? Где будут эти «ширина» и «глубина», если мы окажемся не в прямоугольной комнате, а в невесомости где-нибудь между Венерой и Марсом? Наконец, кто поручится, что «высота», скажем, в Москве и Нью-Йорке — это одно и то же «измерение»?

Беда в том, что мы уже знаем ответ к задаче, которую пытаемся решить, а это далеко не всегда полезно. Вот если бы оказаться в мире, число измерений которого заранее не известно, и отыскивать их по одному... Или, по крайней мере, так отрешиться от наличных знании о действительности, чтобы посмотреть на ее первоначальные свойства совсем по-новому.

В 1915 году французский математик Анри Лебег придумал, как определить число измерений пространства, не пользуясь понятиями высоты, ширины и глубины. Чтобы понять его идею, достаточно внимательно посмотреть на брусчатую мостовую. На ней легко можно найти места, где камни сходятся по три и по четыре. Можно замостить улицу квадратными плитками, которые будут примыкать друг к другу по две или по четыре: если взять одинаковые треугольные плитки, они будут примыкать но две или по шесть. Но ни один мастер не сможет замостить улицу так, чтобы булыжники везде примыкали друг к другу только по два. Это настолько очевидно, что смешно и предполагать обратное.

Математики отличаются от нормальных людей именно тем, что замечают возможность таких абсурдных предположений и умеют делать из них выводы. В нашем случае Лебег рассуждал так: поверхность мостовой, безусловно, двумерна. В то же время на ней неизбежно есть точки, где сходятся по меньшей мере три булыжника. Попробуем обобщить это наблюдение: скажем, что размерность какой-то области равна N, если при ее замощении не удается избежать соприкосновений N + 1 или большего числа «булыжников». Теперь трехмерность пространства подтвердит любой каменщик: ведь при выкладывании толстой, в несколько слоев стены обязательно будут точки, где соприкоснутся не менее чем четыре кирпича!

Однако на первый взгляд кажется, что к лебеговскому определению размерности можно найти, как выражаются математики, «контрпример». Это дощатый пол, в котором половицы соприкасаются ровно по две. Чем не замощение? Поэтому Лебег потребовал еще, чтобы «булыжники», используемые в определении размерности, были маленькими. Это важная идея, и в конце мы вернемся к ней еще раз — в неожиданном ракурсе. А сейчас ясно, что условие малой величины «булыжников» спасает определение Лебега: скажем, короткие паркетины, в отличие от длинных половиц, в некоторых точках обязательно будут соприкасаться по три. Значит, три измерения пространства — это не просто возможность произвольно выбрать в нем какие- то три «разных» направления. Три измерения — это реальное ограничение наших возможностей, которое легко почувствовать, немного поиграв с кубиками или кирпичами.

i. M. К. Эшер. Вид городка Сартене в Италии. 1928год

2. Схема кладки при так называемой полукрестообразной перевязке кирпичной стены. После того как на отмеченное место будет положен кирпич, в точке А станут сходиться пять, а в точке В четыре кирпича.

3. Треугольник Минковского.

4. Способ построения кривой Пето.

5. Побережье южной части Норвегии (размер стороны квадрата решетки — примерно 50 километров).

Другое ограничение, связанное с трехмерностью пространства, хорошо чувствует узник, запертый в тюремной камере (например, Штирлиц в подвале у Мюллера). Как выглядит эта камера с его точки зрения? Шершавые бетонные стены, плотно запертая стальная дверь — словом, одна двумерная поверхность без щелей и отверстий, огораживающая со всех сторон замкнутое пространство, где он находится. Из такой оболочки деться действительно некуда. А можно ли запереть человека внутри одномерного контура? Представьте, как Мюллер рисует вокруг Штирлица мелом круг на полу и уходит восвояси: это не тянет даже на анекдот.

№ этих соображений извлекается еще один способ определить число измерении нашего пространства. Сформулируем его так: огородить со всех сторон область N-мерного пространства можно только (N— 1)-мерной «поверхностью». В двумерном пространстве «поверхностью» будет одномерный контур, в одномерном — две нульмерные точки. Это определение придумал в 1913 году голландский математик Брауэр, по известным оно стало только спустя восемь лет, когда его независимо друг от друга, переоткрыли наш Павел Урысон и австриец Карл Менгер.

Здесь наши пути с Лебегом, Брауэром и их коллегами расходятся. Новое определение размерности было нужно им для того, чтобы построить абстрактную математическую теорию пространств любой размерности вплоть до бесконечной. Это — чисто математическая конструкция, игра человеческого ума, который достаточно силен даже для познания таких странных объектов, как бесконечномерное пространство. Математики не пытаются узнать, существуют ли на самом деле вещи, обладающие такой структурой; это не их профессия. Напротив, наш интерес к количеству измерений мира, в котором мы живем, физический: мы хотим узнать, сколько их на самом деле и как почувствовать их число «на своей шкуре». Нам нужны явления, а не чистые идеи.

Характерно, что все приведенные примеры были заимствованы более или менее из архитектуры. Именно эта область деятельности людей теснее всего связана с пространством, как оно представляется нам в обычной жизни. Чтобы продвинуться в поиске измерений физического мира дальше, потребуется выход к другим уровням реальности. Они доступны человеку благодаря современной технологии, а значит — физике.