Шон Кэрролл - Вечность. В поисках окончательной теории времени

Рис. 8.2.Поведение 2000 молекул газа в контейнере с перегородкой. В самом начале 1600 молекул находятся в левой части контейнера и 400 молекул – в правой. Через 50 секунд в левой половине остается около 1400 молекул, а в правой их число уже составляет 600. По истечении 200 секунд молекулы равномерно распределены между двумя половинами контейнера

Конечно же, это всего лишь статистическая картина, а не абсолютная действительность. Я хочу сказать, что вполне вероятна ситуация, когда вначале слева и справа в контейнере будет одинаковое число молекул, а потом по удивительному стечению обстоятельств большинство частиц соберется в какой-то одной половине, образовав очень неравномерное распределение. Как мы увидим далее, вероятность такого исхода невелика, и чем больше частиц участвуют в процессе, тем она ниже; тем не менее нельзя сбрасывать ее со счетов. Однако пока что мы можем смело игнорировать такие редкие события и сконцентрироваться на наиболее вероятном варианте эволюции системы. Энтропия по Больцману

Нам хотелось бы сделать нечто большее, чем просто заявить: «Вполне очевидно, что молекулы, скорее всего, будут перемещаться до тех пор, пока равномерно не распределятся по объему». Мы хотели бы уметь обосновывать это ожидание и заменять выражения типа «скорее всего» и «равномерно распределятся» строгими количественными характеристиками. Этим занимается раздел науки под названием «статистическая механика». Повторяя бессмертные слова Питера Венкмана: «С дороги, человек, я ученый!»

Первой крупной догадкой Больцмана было осознание того факта, что у молекул есть гораздо больше способов равномерно (более или менее) распределиться по объему контейнера, чем всем вместе скопиться у одной из его стенок. Представьте себе, что мы подсчитали имеющиеся молекулы и навесили на них номера от 1 до 2000. Нам интересно, сколько существует способов организовать молекулы так, чтобы в левой и правой половинах контейнера оказалось ровно требуемое число молекул. Например, сколько есть способов поместить 2000 молекул в левую часть и 0 в правую? Ровно один. Мы следим только за тем, в какой половине контейнера находится каждая молекула, и нас не интересуют ее точное положение и импульс, поэтому мы всего лишь берем и помещаем каждую молекулу в левую часть контейнера.

Теперь попробуем ответить на вопрос: сколькими способами можно поделить молекулы так, чтобы в левой части оказалось 1999 молекул, а в правой – ровно одна? Ответ: двумя тысячами способов, по одному на каждую молекулу, которой посчастливилось попасть в правую половину. А если мы хотим, чтобы в правой части всегда находилась пара молекул? Это можно сделать 1 999 000 способов. И в конце концов, если мы обнаглеем поместить в правую половину три молекулы, оставляя в левой 1997, то обнаружим, что вариантов такого размещения молекул целых 1 331 334 000. [128]

Очевидно, что эти числа увеличиваются очень быстро: 2000 намного больше 1, 1 999 000 намного больше 2000, а 1 331 334 000 еще больше. По мере того как мы в ходе своего мысленного эксперимента перемещаем все больше и больше молекул в правую половину, опустошая левую, они продолжают возрастать, а затем в определенный момент начинают уменьшаться. В конце концов, задавшись вопросом, много ли существует способов поместить все 2000 молекул в правую часть контейнера, оставив в левой ровно ноль, мы вновь вернемся к единственному уникальному варианту такой конфигурации.

Ситуация, соответствующая наибольшему числу всевозможных конфигураций, – очевидно, та, когда в каждой половине контейнера находится ровно по 1000 молекул. Создать такую конфигурацию можно… в общем, очень большим количеством способов. Мы не будем приводить точное число; скажем только, что оно примерно равно 2 × 10 600– двойка, за которой следует шестьсот нулей. И это всего лишь для двух тысяч частиц. Попробуйте вообразить приблизительное число возможных конфигураций атомов в комнате с обычным объемом воздуха или даже в стакане воды (предмет, который можно удержать в руке, состоит где-то из 6 × 10 23молекул – это число Авогадро). Возраст Вселенной – всего лишь около 4 × 10 17секунд, так что можете представить себе, как быстро вам придется двигать молекулы туда и сюда, для того чтобы изучить все возможные допустимые конфигурации.

Все это наводит на определенные мысли. Существует относительно немного способов собрать все молекулы в одной половине контейнера, но огромное число вариантов более или менее равномерного распределения их по доступному пространству. К тому же разумно ожидать, что очень неравномерное распределение с легкостью будет переходить в относительно равномерное, но не наоборот. Эти заявления похожи, но не эквивалентны. Следующим шагом Больцмана было предположение о том, что если у нас нет какой-то особой информации о состоянии системы, то следует предполагать, что она будет переходить от «специальных» конфигураций к «общим», то есть от ситуаций, соответствующих относительно небольшому числу вариантов расположения частиц, к ситуациям, соответствующим множеству способов их расположения.

Размышляя подобным образом, Больцман ставил целью объяснить на атомном уровне второе начало термодинамики – утверждение, что энтропия в замкнутой системе всегда увеличивается (или остается постоянной). Формулировки второго начала уже были даны Клаузиусом и другими учеными, однако Больцман хотел вывести их из некоего простого набора базовых принципов. Вы уже заметили, что статистическое мышление движет нас в правильном направлении: заявление о том, что «развитие систем происходит от специальных конфигураций к общим», весьма похоже на «развитие систем происходит от конфигураций с низкой энтропией к конфигурациям с высокой энтропией».

Таким образом, напрашивается определение энтропии как «количества перестановок микроскопических частей системы, при которых ее макроскопическое состояние не меняется». В нашем примере с перегородкой внутри контейнера это соответствует количеству способов разместить отдельные молекулы внутри сосуда так, чтобы общее число молекул в каждой половине осталось неизменным.

Мы почти подобрались к верному ответу, но все же не совсем. В действительности пионерам термодинамики было известно об энтропии не только то, что «она обычно увеличивается». Например, они знали, что если взять две разные системы и заставить их взаимодействовать, то общая энтропия будет равна простой сумме отдельных энтропий этих двух систем. Энтропия аддитивна, точно так же, как число частиц (в отличие, например, от температуры). Однако количество конфигураций совершенно точно свойством аддитивности не обладает: если соединить два контейнера с газом, то общее количество способов реорганизации молекул в двух контейнерах станет во много раз больше, чем в пределах одной емкости.