Сергей Рубинштейн - Бытие и сознание

Вопрос о соотношении общего и частного – коренной вопрос теории обобщения и всей теории познания в целом. Абстрагирование общего в научном понятии не может означать отрыва его от частного. Отрыв общего от частного означает вместе с тем и отрыв общего понятия от предметов и явлений действительности. Отрыв понятий от предметов и явлений действительности, осуществляемый посредством отрыва общего от частного, неизбежно ведет к тому, что мышление в понятиях сводится к мышлению о понятиях, обособленных от их предмета. Дело, начатое таким образом, доводится до своего логического конца, когда к тому же еще и само понятие сводится к его определению. Это и есть тот путь, который с неизбежностью приводит к формалистическому пониманию мышления в понятиях. Подмена мышления о предметах и явлениях действительности оперированием над понятиями, обособленными от предметов, и над их дефинициями и есть основа формалистического подхода к мышлению. На самом деле мышление в понятиях никак не сводится к мышлению о понятиях; оно есть прежде всего познание предметов этих понятий.

Обобщение, выражающееся в абстрактных научных понятиях, возникает в результате 1) анализа, посредством которого существенное дифференцируется от несущественного (первое в качестве существенного необходимо выступает как общее для данной категории явлений, второе – как частное, специфицирующее отдельные явления); и 2) абстракции, посредством которой общие свойства, входящие в понятие, извлекаются из явления в его конкретности и «идеализируются», берутся в чистом виде, не осложненном посторонними привходящими обстоятельствами, маскирующими или осложняющими их собственную природу в ее внутренних закономерностях (пример: понятие «идеального» газа, строго отвечающего законам Бойля – Мариотта и Гей-Люссака).

С ролью абстракции в обобщении связаны так называемые « определения через абстракцию » [ [178] и, значит, вообще вопрос об определении и образовании понятий. При определении через абстракцию исходят из неких эмпирически данных объектов (например, из эмпирически данного множества предметов – при определении числа, из эмпирически данных фигур – при определении геометрических образований) и образуют абстрактное понятие, фиксируя те свойства данных объектов и те отношения между ними, которые остаются инвариантными при преобразованиях, которым они могут подвергнуться. В обобщенной форме отношение, посредством которого при определении через абстракцию образуется понятие, обозначается как «эквивалентность», равнозначность двух или нескольких объектов. Эквивалентность – отношение типа равенства, обладающее свойством коммутативности (если а ~ b , то и b ~ а ) и транзитивности (если а ~ b и b ~ с , то и а ~ с ). Посредством эквивалентности, исходя из множества предметов, определяется тождественность понятия, образованного из них таким образом. Так, например, направление определяется как свойство, общее всем параллельным прямым, остающееся инвариантным при переходе от одной из параллельных прямых к любой другой. (Такое определение направлений считается обоснованным, поскольку отношение параллельности обладает теми же свойствами – симметричностью и транзитивностью, что и отношение эквивалентности, а также равенства.) Аналогично геометрическое образование и его форма (треугольник, круг и т. д.) определяются как то в фигуре, что остается инвариантным при изменении положения и величины. Число определяется, как то свойство множества, которое остается инвариантным при соотнесении его элементов так, что каждый элемент одного множества однозначно соотносится с элементами другого множества.

В определении через абстракцию определяемое выступает как нечто ( х ), которое остается инвариантным при некоей группе преобразований, без прямого определения того, что оно в своей специфичности есть.

Вместо того чтобы определить позитивное содержание понятия через внутренние закономерные соотношения сторон или свойств соответствующего явления и показать его инвариантность по отношению к признакам, от которых абстрагируются, при определении через абстракцию понятие характеризуется его независимостью (инвариантностью) по отношению к тому, от чего абстрагируются. Специфику этого и возможность другого, генетического, конструктивного пути можно уяснить себе на примере числа.

Через абстракцию число определяется посредством равночисленности исчисляемых множеств. Другой путь его определения – конструктивный – осуществляется исходя из единицы по принципу полной индукции. При таком обосновании числа числа выступают в своих внутренних взаимоотношениях как упорядоченные множества, посредством которых при счете упорядочивается и исчисляемое. Каждое число определяет численность множества (а не наоборот, как при определении числа через абстракцию). При этом специально показывается, что результат счета не зависит от порядка, в котором он производится (таким образом инвариантность по отношению к несущественным внешним отношениям обосновывается исходя из закономерности внутренних отношений). Определение числа через равночисленность соотносимых множеств (при определении через абстракцию) скрыто предполагает упорядочение самих соотношений и, значит, соотносимых множеств. При определении через абстракцию утверждается определенность числа посредством равночисленных множеств, но этим не вводятся индивидуально определенные числа.

При таком определении понятие является неким х , определенным лишь постольку, поскольку оно должно отвечать известным условиям – инвариантности при некоторых преобразованиях внешних по отношению к нему свойств, от которых понятие должно быть отвлечено; оно лишено каких-либо собственных («внутренних») определений (в переменную здесь таким образом превращают не то частное, внешнее, привходящее, от чего абстрагируют, а общее). Поэтому посредством определения через абстракцию при таком ее понимании создается «формальная» система, безразличная к внутреннему содержанию, к свойствам объектов, о которых идет речь. Поэтому, например, Вейль, вообще не стоящий на позициях формализма, говоря об определении через абстракцию, в этой связи заявляет: «Математику совершенно безразлично, что такое круги» ( Es ist fur den Mathematiker ganz gleichgultig, was Kreise sind ) [179] . Ясно, что такое утверждение ведет к открытому формализму. Конечный смысл этого утверждения применительно к математике выразил Рассел в своем известном афоризме: «математика – это наука, в которой мы не знаем, ни о чем мы говорим, ни того, истинно ли то, что мы утверждаем». (О второй части этого положения см. дальше.)