БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

Рис. к ст. Линейного интерполирования метод.

Лине'йное письмо'А и Б, древнейшие письменности о. Крита. В текстах, выполненных Л. п. Б (крито-микенским слоговым письмом), засвидетельствован один из диалектов древнегреческого языка. Надписи, датируемые 15—14 вв. до н. э. и найденные в конце 19 в. на о. Крите, были впервые опубликованы английским учёным А. Эвансом в 1909. В 1939 в южной части Пелопоннеса были найдены таблички с такими же надписями, относящимися примерно к 13 в. до н. э. Дешифровка Л. п. Б принадлежит английским учёным М. Вентрису и Дж. Чедвику (1953). Знаки крито-микенского письма, соответствующие отдельным гласным или группам, состоящим из согласного с последующим гласным, по мнению некоторых учёных, были, очевидно, заимствованы и приспособлены к нуждам греческого языка. Некоторые знаки совпадают со знаками кипрского слогового письма (6—2 вв. до н. э.) и Л. п. А, которое датируется примерно 18—15 вв. до н. э. Не поддающееся дешифровке Л. п. А, по всей вероятности, не является индоевропейским (см. Критское письмо ) .

Лит.: Георгиев В., Словарь крито-микенских надписей, София, 1955; Лурье С. Я., Язык и культура микенской Греции, М., 1957; Furumark A., Linear A und die altkretische Sprache, B., 1956; Meriggi P., Primi elementi di minoico A, Salamanca. 1956; Sundwall J., Minoische Beiträge, «Minos», 1955, № 3, 1956, № 4; Chadwick J., Ventris M Studies in Mycenaean inscriptions and dialect, L., 1956; их же, Documents in Mycenaean Greek, Camb., 1956; «Minoica», B., 1958; Peruzzi E., Le iscrizioni minoiche, Firenze, 1960.

М. Л. Воскресенский.

Лине'йное преобразова'ниепеременных x 1, x 2, ..., x n — замена этих переменных на новые x' 1 , x’ 2, ..., x' n , через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

x 1= a 11x’ 1+ a 12x’ 2+ ... + a nnx’ n+ b 1,

x 2= a 21x’ 1+ a 22x’ 2+ ... + a 2nx’ n+ b 2,

...

x n= a n1x’ 1+ an2x’ 2+ ... + a nnx’ n+ b n,

здесь a ij и b i ( i, j = 1,2, ..., n ) — произвольные числовые коэффициенты. Если b 1, b 2,..., b n все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

х = x' cos a - y' sin a + a,

у = x' sin a + y' cos a + b.

Если определительD = ½ a ij ½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x' 1, x' 2, ..., x' n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

и

x’ =x cos a + ysin a + a 1

y’ = -x sin a + cos a + b 1

где a 1= - a cos a - b sin a , b 2= a sin a - b cos ( . Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства ) называют закон, по которому вектору х из n -мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x ', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х :

x’ 1= a 11x 1+ a 12x 2+ ... +a 1nx n

x’ 2= a 21x 1+ a 22x 2+ ... +a 2nx n

...

x’ n= a n1x 1+ a n2x 2+ ... +a nnx n,

или коротко

x' = Ax.

Например , операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b , координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' = х, y' = у , z' = 0. Пример Л. п. плоскости — поворот её на угол a вокруг начала координат. Матрицу

,

составленную из коэффициентов Л. п. А , называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

и .

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х ® у = Ax называют Л. п., если выполняются условия А ( х + у ) = Ax + Ау и A (a x ) = a А ( х ) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х ; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB , если Cx = А ( В х ) .

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то a А переводит х в a у . Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Л. п. Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А -1), если BA = Е (или AB = Е ). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А - 1переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: å ka ika jk= å ka kia kj= 0 при i ¹ j, å ka 2 ik= å ka 2 ki= 1 (в комплексном пространстве å ka ik jk= å ka ki kj= 0, å k|a jk| 2= å k|a ki| 2= 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: a ij= a ji(или (a ij= ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).