БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.

С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением

F ( x 1, x 2, x 3 ) = 0

между однородными координатами x 1, x 2, x 3 её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением

F(x 1, x 2, x 3) = 0,

связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л. — степени уравнения F = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые.

5) Рассмотренные выше (в пунктах 2—4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.

Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции P = j ( t ), где t пробегает отрезок а £ t £ b , но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая ) . Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая ) . Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.

Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Урысоном, который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют «канторовыми кривыми».

Л. Н. Колмогоров.

6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка ( эллипс, гиперболу и параболу ) . Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт ) .

Из Л. третьего порядка наиболее известны:

Декартов лист (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 1 ). уравнение в прямоугольных координатах: x 3+ y 3— 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( — а , 0) и (0, — а ), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» установилось в начале 18 в.

Локон Аньези (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 2 ). Пусть имеется круг с диаметром OC = - а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a 3/ ( a 2+ x 2 ). Исследование этой Л. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

Кубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 3 ). уравнение в прямоугольных координатах: у = x 3 .

Полукубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 4 ), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх 3/2 . Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5 ). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а ; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = —a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.

Циссоида Диоклеса (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 6 ) (греч. kissoeides, от kissós — плющ и éidos — вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р — произвольная точка производящего круга с диаметром а ). Уравнение в прямоугольных координатах: y 2= х 3/ ( а — х ); в полярных координатах: r = a sin 2j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.

Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:

Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 1 ), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: ( x 2+ y 2— 2ах ) 2= 4a ( x 2+ y 2 ); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).