БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (РИ)

, i , j , …, n .

Однако в римановом пространстве R можно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрический тензор; они называются метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами , но уже не симметричными по индексам j, k и не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензор g ij и его производные. Отличие метрической связности от римановой оценивается так называемым тензором кручения:

,

геометрический смысл которого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, с и углами А, В, С. Тогда главная часть проекции кручения в точке А на сторону AB равна отношению величины с — acosB — bcosA к площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр к AB — величине asinB — bsinA, деленной на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.

Кривые, касательный вектор к которым переносится вдоль них параллельно, называются геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор

кососимметричен по всем индексам.

Подпространства.На m -мерном подмногообразии М риманова пространства R, задаваемом уравнениями x i = x i ( u 1,..., u m ) , причём ранг матрицы равен m, имеет место Р. г., определяемая метрическим тензором

М называется римановым подпространством пространства R.

Достаточно малая область m -мерного риманова пространства R может быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерности N (т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что ; вопрос о минимальном значении N в общем случае ещё не решен, однако если коэффициенты метрической формы g ij пространства R являются аналитическими функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то . Относительно задачи погружения в целом (представляющей интерес для физики калибровочных полей) известно ещё меньше.

Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, например: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизны К. погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшей К [проблема Г. Вейля (1916), решенная немецким математиком Х. Леви (1937) и А. Д. Александровым (1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, немецкий математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны K £ K o < 0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности [советский математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского ( К = — 1) разобран Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [советский математик Э. Г. Позняк (1973)].

Приложения и обобщения римановой геометрии.1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов g ij является отражением одного из фундаментальных физических законов — закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решенная ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.

2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с n степенями свободы позволило представить в ясной геометрической форме ряд механических задач. Так, например, траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механической системы с кинетической энергией

где — обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующего n -мерного риманова пространства с метрическим тензором g ij. О некоторых других фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип ) .

3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:

а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокации;

б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора такого, что