БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

(2)

(где K ( t , s ) — ограниченная функция — ядро А ) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C 1 ( a , b ) Ì L 2 ( a , b ) оператор дифференцирования

(3)

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

Непрерывный оператор A : X ® Y , где X , Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что

,

поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов ( X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой || A ||. Свойства , если для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что || x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X' , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).

Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например ( l p )¢, p > 1, состоит из функций вида å x je j , где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t 0 и m на пространстве D ( ) определён функционал . В случае m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом — при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из ( D ( ))¢ называются обобщёнными функциями (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D ( ) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф' É Н É Ф, где Н — исходное гильбертово пространство, а Ф — линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например

Ф = W l 2 ( T ).

Дифференциальный оператор D , фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2 [ a , b ] из пространства C 1 [ a , b ], снабженного нормой , Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.

4. Специальные классы операторов. Спектральная теория.Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С — некоторый оператор, у Î Y — заданный, а x Î Х — искомый векторы. Например, если Х = Y = L 2 ( а , b ), С = Е — А , где А — оператор из (2), а Е — тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С — дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x — Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).

В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 ( собственного вектора ) уравнения А j = lj при некотором l Î l jx je j , (4)

где l j , — собственное значение, отвечающее e j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .

Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K ( t , s ) = K ( s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2 [ a , b ]

( Tx )( t ) = tx ( t ) (5)

не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.