БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ЭК)

Н. Р. Палеев, И. М. Кельман.

Экстрема'ль(от лат. extremus — крайний), интегральная кривая дифференциального уравнения Эйлера в вариационном исчислении.

Экстрема'льное регули'рование,способ автоматического регулирования, состоящий в установлении и поддержании такого режима работы управляемого объекта, при котором достигается экстремальное (минимальное или максимальное) значение некоторого критерия, характеризующего качество функционирования объекта. Критерием качества, который обычно называется целевой функцией, показателем экстремума или экстремальной характеристикой, может быть либо непосредственно измеряемая физическая величина (например, температура, ток, напряжение, давление), либо кпд, производительность и др. Э. р. осуществляется в условиях неопределённости в отношении поведения объекта управления. Поэтому при Э. р. сначала получают необходимую исходную информацию об объекте (для этого на управляемый объект подаются пробные воздействия, изучается реакция объекта на эти воздействия и выбираются те из них, которые изменяют целевую функцию в нужном направлении), а затем на основе полученной информации вырабатывают рабочие воздействия, обеспечивающие достижение экстремума критерия качества (см. Поисковая система управления). Т. о., при Э. р. решаются две задачи: нахождение градиента целевой функции, определяющего направление движения к экстремуму в пространстве регулируемых координат при наличии помех, возмущений и инерционности объекта оптимизации; организация устойчивого движения системы в направлении точки экстремума за минимально возможное время либо при минимизации каких-либо других показателей.

Автоматическое устройство, вырабатывающее управляющие воздействия на объект, называется экстремальным регулятором. Экстремальные регуляторы предназначены для управления такими объектами, у которых зависимость показателя качества функционирования от регулирующего воздействия имеет один экстремум (максимум или минимум). Качество работы регулятора определяют величина и частота пробных воздействий, величина н скорость вариаций регулирующих (рабочих) воздействий, чувствительность и др. В СССР и за рубежом серийно выпускаются электронные, гидравлические и пневматические регуляторы для Э. р., структура и конструктивные особенности которых определяются назначением и областью использования того или иного регулятора.

Экстремальный регулятор в совокупности с объектом регулирования образуют систему экстремального регулирования (СЭР), или систему оптимизации, по принципу управления различают СЭР разомкнутые (основанные на принципе управления по возмущению), замкнутые (основанные на принципе обратной связи) и комбинированные (совмещающие оба принципа одновременно). Наибольшее распространение получили замкнутые СЭР, обеспечивающие высокую точность, разомкнутые СЭР, несмотря на многие преимущества их по сравнению с замкнутыми СЭР (высокое быстродействие, отсутствие поисковых движений и т. д.), применяются ограниченно, главным образом в тех случаях, когда все основные возмущения, действующие на объект управления, могут быть измерены; комбинированные СЭР сочетают основные преимущества замкнутых и разомкнутых систем — точность и быстродействие.

Важнейшими показателями, характеризующими качество функционирования СЭР, являются: для статических объектов — время поиска экстремума (быстродействие СЭР) и отклонение оптимизируемой величины от экстремального значения в установившемся режиме (т. н. потери на поиск); для динамических объектов, кроме уже указанных,— требования к характеру переходного процесса поиска (монотонность, отсутствие перерегулирования и т. п.). Выбор конкретной СЭР, как правило, тесно связан со спецификой управляемого объекта.

Первые работы в области Э. р. принадлежат М. Леблану и Т. Штейну (Франция, 1922); систематическое изучение Э. р. как нового направления в развитии систем автоматического управления впервые было начато В. В. Казакевичем (СССР, 1944); изучение СЭР было продолжено в 50-x гг. 20 в. Ч. Драйпером и В. Ли (США). В 60-х гг. Э. р. оформилось в самостоятельное направление в теории нелинейных систем автоматического управления, а СЭР получили широкое применение (например, при настройке резонансных контуров и автоматических измерительных устройств, при отыскании оптимальных параметров настраиваемых моделей, при управлении химическими реакторами, нагревательными установками, процессами флотации, дробления).

Лит.: Красовский А. А., Динамика непрерывных самонастраивающихся систем, М., 1963; Моросанов И. С., Релейные экстремальные системы, М., 1964; Кунцевич В. М., Импульсные самонастраивающиеся и экстремальные системы автоматического управления, К., 1966; Растригин Л. А., Системы экстремального управления, М., 1974.

С. К. Коровин.

Экстрема'льный регуля'тор, регулятор, автоматически отыскивающий и поддерживающий такие значения регулирующих воздействий, при которых показатель качества работы регулируемого объекта достигает экстремального значения. См. Экстремальное регулирование.

Экстреми'зм(франц. extremisme, от лат. extremus — крайний), приверженность к крайним взглядам и мерам (обычно в политике).

Экстре'мум(от лат. extremum — крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х 0 функция f (x) имеет в x 0 максимум (минимум), если существует окрестность ( x 0+ d, x 0 — d) этой точки, содержащаяся в области определения f ( x ) , и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f ( x 0 ) , ³ f ( x ) [соответственно, f ( x 0 ) £ f ( x )]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f ( x 0 ) > f ( x ) [или f ( x 0 ) << f ( x )] при х ¹ x 0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f ( x ) имела Э. в некоторой точке x 0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x 0 и чтобы либо f` ( x 0 ) = 0 (точка А на рис. 1 ), либо f` ( x 0 ) не существовала (точка С на рис. 1 ). Если при этом в некоторой окрестности точки x 0 производная f' ( x ) слева от x 0 положительна, а справа отрицательна, то f ( x ) имеет в x 0 максимум; если f' ( x ) слева от x 0 отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f' ( x ) не меняет знака при переходе через точку x 0, то функция f ( x ) не имеет Э. в точке x 0 (точки D, Е и F на рис. 1 ). Если f ( x ) в точке x 0 имеет п последовательных производных, причём f' ( x 0 ) = f`` ( x 0 ) =...= f (n-1)( x 0 ) =0, a f (n)( x 0 )¹ 0, то при п нечётном f ( x ) не имеет Э. в точке x 0, а при п чётном имеет минимум, если f (n)( x 0 ) > 0, и максимум, если f (n)( x 0 ) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции.