Ангелина Яковлева - Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

Коэффициентом множественной детерминации R2 называется квадрат множественного коэффициента корреляции:

Коэффициент множественной детерминации характеризует, на сколько процентов построенная модель регрессии объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной моделью регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной детерминации, тем лучше построенная модель регрессии характеризует взаимосвязь между переменными.

Для коэффициента множественной детерминации всегда выполняется неравенство вида:

Следовательно, включение в линейную модель регрессии дополнительной факторной переменной xn не снижает значения коэффициента множественной детерминации.

Коэффициент множественной детерминации может быть определён не только как квадрат множественного коэффициента корреляции, но и с помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле:

где ESS (Error Sum Square) – сумма квадратов остатков модели множественной регрессии с n независимыми переменными:

TSS (TotalSumSquare) – общая сумма квадратов модели множественной регрессии с n независимыми переменными:

Однако классический коэффициент множественной детерминации не всегда способен определить влияние на качество модели регрессии дополнительной факторной переменной. Поэтому наряду с обычным коэффициентом рассчитывают также и скорректированный (adjusted) коэффициент множественной детерминации, в котором учитывается количество факторных переменных, включённых в модель регрессии:

где n – количество наблюдений в выборочной совокупности;

h – число параметров, включённых в модель регрессии.

При большом объёме выборочной совокупности значения обычного и скорректированного коэффициентов множественной детерминации отличаться практически не будут.

Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена линейная модель множественной регрессии. Задача состоит в проверке значимости частных и множественного коэффициентов корреляции.

Рассмотрим процесс проверки значимости частных коэффициентов корреляции.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости частных коэффициентов корреляции, т. е.

Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости частных коэффициентов корреляции, т.е.

Н1:r(yxi/x1…xn-1)≠0.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента и называется критическим.

При проверке значимости частного коэффициента корреляции критическое значение t-критерия определяется как tкрит( ;n–l–1) , где а – уровень значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров, ( n–l–1 ) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|›tкрит , то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости частного коэффициента корреляции отвергается, и между переменными xi и y существует корреляционная связь при постоянных значениях остальных переменных, включённых в модель регрессии.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. | tнабл|≤tкрит , то основная гипотеза о незначимости частного коэффициента корреляции принимается, и между переменными xi и y отсутствует корреляционная связь при постоянных значениях остальных переменных, включённых в модель регрессии. Следовательно, включение независимой переменной xi в данную модель регрессии является необоснованным.

Рассмотрим процесс проверки значимости коэффициента множественной корреляции.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости коэффициента множественной корреляции, т. е.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости коэффициента множественной корреляции, т. е.

Н1:R(y,xi)≠0.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора через коэффициент множественной детерминации.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.

При проверке значимости коэффициента множественной корреляции критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2 ), где а – уровень значимости, k1=l–1 и k2=n–l – число степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0:R(y,xi)=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле: