Сергей Доронин - Квантовая магия

<���— k ln ρ > = — k Tr ( ρ ln ρ )

Отсюда связь между количеством информации в системе и энтропией Tr( ρ ln ρ ) = < ln ρ >, которая называется энтропией фон Неймана и чаще всего используется сейчас в качестве меры квантовой информации. Она и была введена в качестве первой меры квантовой запутанности, которая определяется выражением (3.6). Различие между натуральным логарифмом и логарифмом по основанию 2 в данном случае не принципиально.

Заметим, что Tr( ρ ln ρ ) и ln[ Tr( ρ 2)] изменяются в одних и тех же пределах и никогда сильно не отличаются друг от друга. Однако при использовании этой меры, чтобы получить положительное число, приходится в выражениях ставить знак минус, как в (3.6). При этом иногда забывается, что при переходе к логарифму с информацией произошел своеобразный «перевертыш»: там, где был минимум информации, — теперь стал максимум, а максимум информации (единица для чистого состояния) обратился в нуль. Хотя и эту ситуацию можно трактовать так, что, с точки зрения внешнего наблюдателя, о чистом состоянии он ничего не может сказать, поскольку это замкнутая система, которую наблюдатель еще не «потревожил» своим измерением.

Квантовая теория информациитаким образом непосредственно связывает информацию с энергией через энтропию фон Неймана, которую можно считать основной физической характеристикой энергоинформационного процесса. Изменение информации сопровождается изменением энергии, а обмен информацией напрямую связан с обменом энергией (справедливо и обратное) — это еще один важный вывод, который сделан в физике квантовой информации.

Есть и отдельные строгие результаты, связывающие информацию, энергию и энтропию. В частности, теорема Марголюса-Левитина [91]утверждает, что число элементарных логических операций, которые физическая система может выполнить в единицу времени, ограничено энергией системы, а количество информации, которую система может зарегистрировать (воспринять), ограничено ее собственной максимальной энтропией [92].

Прямая связь между энергией и выполняемыми логическими операциями (информационными процессами) позволяет перекинуть мостик к физическим процессам, сопровождающим работу сознания, поскольку она непосредственно связана с логическими операциями.

Информация в терминах энтропии фон Неймана позволяет описывать запутанные состояния. Одна из основных особенностей этого понятия состоит в том, что об объекте, находящемся в чистом запутанном состоянии ( ρ = ρ 2), невозможно получить никакой информации, поскольку в этом случае из (3.6) следует E ( ρ ) = 0. Энтропия фон Неймана и квантовая запутанность может быть отлична от нуля только для подсистем, которые взаимодействуют со своим окружением, и поэтому находятся в несепарабельномсостоянии.

Довольно часто для простоты количество квантовой информации определяется просто как число кубитов в системе.

Исходная величина Tr( ρ 2) сейчас тоже широко используется в физике квантовой информации, но уже не в качестве меры информации, а как характеристика степени чистоты состояния ( purity ), которая показывает, насколько близко данное состояние к чистому, для последнего Tr( ρ 2) = 1.

Кубитув нашей книге отведена исключительно важная роль, поэтому вернемся к нему еще раз — теперь уже с привлечением матрицы плотности, которая помогает глубже понять, что такое кубит, и более подробно его описывает.

Пространство двух состояний, когда система может переходить из одного состояния в другое (двухуровневая система), является простейшим гильбертовым пространством. Когда система имеет одно состояние, и оно не меняется, то вообще не имеет смысла говорить о применении методов квантовой теории к такой системе и об описании ее в терминах состояний.

Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить [93]|0ñи |1ñ, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:

|Ψñ = a |0ñ + b |1ñ, (3.9)

где а и b — комплексные числа (амплитуды), удовлетворяющие условию нормировки| а | 2+ | b | 2= 1.

Тогда, исходя из основных понятий квантовой механики, определение кубита звучит достаточно просто: кубит —это вектор состояния двухуровневой системы.

Таким образом, кубит— это минимально возможный (элементарный) вектор состояния. Любой вектор состояния может быть представлен как совокупность таких элементарных векторов, поэтому кубит— первооснова, исходный «кирпичик» для всех других векторов состояния любой размерности.

Подобно тому, как за единицу классической информации принимается бит (0 и 1), так в физике квантовой информации кубитопределяется как единица квантовой информации.

Одним из сложных для восприятия квантовой механики моментов является отсутствие наглядных представлений, когда приходится иметь дело с векторами состояний и матрицами плотности. Как можно сопоставить вектор гильбертова пространства с привычными для нас трехмерными объектами? Один из наиболее простых вариантов такого сопоставления хорошо известен. Это так называемая сфера Блоха. Попытаемся разобраться, что она собой представляет.

В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях (например, «вверх» и «вниз»), матрица плотности имеет размер 2 × 2 и для чистого состояния ( 3.9)она имеет вид:

. (3.10)

Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита, не только для того случая, когда он находится в чистом состоянии, как (3.10), но и для смешанного состояния, когда кубитвзаимодействует со своим внешним окружением:

, (3.11)

где Е — единичная матрица, = ( P x, P y, P z ) — вектор Блоха (вектор поляризации), а = ( σ x , σ y , σ z ) — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули:

. (3.12)

Компоненты вектора Блоха определяются как средние значения матриц Паули по обычному правилу (3.8) P j ≡ < σ j > = Tr( ρ σ j ); j = x, y, z .

Три проекции вектора поляризации P x, P y, P z , согласно (3.11), полностью определяют матрицу плотности кубита. В случае чистого состояния длина вектора поляризации равна 1, то есть , и этот вектор описывает сферу единичного радиуса, которая называется сферой Блоха (рис. 1). В этом случае компоненты вектора Блоха равны: