Джон Гриндер - Шепот на ветру

Рассмотрим теперь S = {x: x не является элементом х} ( читается: S есть множество всех таких х, что х не является элементом х ). Здесь есть две возможности: либо S является элементом самого себя (элементом S), либо S не является элементом самого себя. Рассмотрим оба случая по очереди:

Случай 1: предположим, что S является элементом самого себя. Но, по определению, S = {x: x не является элементом х}. Поэтому S не является элементом S. Но если S не является элементом S, то оно должно быть элементом…и т. д.

Случай 2: предположим, что S не является элементом самого себя. Но тогда (опять-таки по определению) S должно быть элементом S. Но если S является элементом самого себя, то оно не может быть элементом S, и т. д.

Это рекурсивное чередование истинностных значений показывает, что каждая из логических возможностей, представленных в обоих случаях, приводит к противоречию.

Приведем теперь примеры, несколько более близкие воображению читателя. Рассмотрим следующие объекты (следуя любезному сообщению Фрэнка Толла):

Библиография всех библиографий, не содержащих самое себя.

Парикмахер, бреющий всех тех, кто не бреется сам.

Почтальон, доставляющий почту всем тем, кто не доставляет почту самому себе .

Затратив некоторое время, вы обнаружите, что ни один из этих объектов не существует.

Источником трудности является аксиома неограниченного включения (или абстракции) в наивной теории множеств. Эта аксиома, впервые введенная Георгом Кантором, утверждает, что любое предикатное выражение P(x), содержащее х как свободную переменную, определяет некоторое множество. Элементами этого множества являются в точности те предметы, которые удовлетворяют P(x), то есть все такие х, которые являются Р. Теперь все согласны, что подобная аксиома должна быть отвергнута или видоизменена.

Решение этого парадокса, принятое в настоящее время, состоит попросту в замечании, что не все свойства определяют множества, то есть что не каждый класс определяет множество. Это решение носит законодательный характер, то есть устанавливаются аксиомы, утверждающие, что некоторые множества существуют; эти аксиомы (при их надлежащем выборе) не позволяют нам построить такое множество, как S.

Ответ самого Рассела на этот парадокс, данный им в то время, заключается в его теории типов. Его основная идея состоит в том, что можно избежать упоминания об S (множестве всех множеств, не являющихся элементами самих себя), расположив все предложения в некоторую иерархию. Эта иерархия будет состоять из предложений об отдельных предметах (individuals) (на самом нижнем уровне), предложений о множествах отдельных предметов (на следующем уровне), предложений о множествах множеств отдельных предметов (на следующем, более высоком уровне), и т. д. После этого можно говорить о всех предметах, обладающих данным свойством (или удовлетворяющих данному предикату) лишь в том случае, если они находятся на одном и том же уровне, или имеют один и тот же «тип». Хотя Рассел впервые ввел идею типов в своей работе Основы математики (1902), эта теория получила завершенное выражение шестью годами позже в его статье 1908 года Математическая логика на основе теории типов , а затем в совместном труде с Алфредом Нортом Уайтхедом (Рrincipia Mathematica, by Bertrand Russell and Alfred North Witehead) (1910, 1912, 1913). Эта последняя работа имела наибольшие притязания: она должна была создать прочную основу всей математики – логику.

Весь вопрос о «парадоксах» Рассела в настоящее время не беспокоит тех, кто занимается теорией множеств. Наш друг Фрэнк Толл, профессор математики в университете Торонто и специалист по теории множеств, описывает это следующим образом:

Парадокс Рассела показывает, что мы не можем наивно пользоваться (как в наивной теории множеств) неограниченной аксиомой включения. Принятое решение состоит в том, что вместо нее мы постулируем в качестве аксиом различные принципы, говорящие нам, что некоторые множества существуют, и что новые множества могут быть построены из старых множеств (например, если даны два множества, то существует множество, состоящее из них обоих). В этом контексте нет надобности в расселовой теории типов. Однако, анализ этих аксиом показывает, что в действительности мы постулируем существование множеств, составляющих некоторую иерархию уровней. Различие между типами Рассела и уровнями Цермело состоит в том, что уровни Цермело кумулятивны: при m > n множества n -ого уровне находятся также на m -ом . 8

Бейтсон в своей трактовке уровней обучения и коммуникации и в своем анализе двойных связок, в книгах Этапы экологии разума и Разум и природа , приводит ряд увлекательных неформальных примеров того, как он понимает различение Рассела. Именно его работа привлекла вначале внимание Гриндера, обратив его внимание на важность работать с той же точностью в своих утверждениях и в их потенциальных приложениях.

Такова история термина. Мы предлагаем теперь следующее определение: термин логический уровень мы будем использовать для обозначения уровней в любой иерархии, порожденной логическим включением.

Логические уровни

Для двух произвольных элементов а и b структурного дерева (иерархии), порожденного логическим включением, мы будем говорить, что элемент а принадлежит более высокому логическому уровню, чем b в том и только в том случае, если а содержит b в одном из подразделений иерархии, лежащих ниже а .

… а …

… b … … с …

Само по себе логическое включение есть вполне определенное отношение порядка, заданное свойствами сужения и наследуемости (см. более полное изложение в разделе Эпистемология Части I и в разделе Разбиение / Логические уровни Части Ш:

1. Сужение – уменьшенное покрытие при каждом последовательном подразделении с помощью придаточных предложений.

2. Наследуемость – сохранение критериев принадлежности к мно- жеству при этом подразделении с помощью придаточных предложений.

Это употребление термина, по-видимому, согласуется с общепринятым использованием слова уровень , сопровождаемым наглядным зрительным представлением вертикального упорядочения – иерархии. 9

Заметим теперь, что термин логический тип остался неопределенным. Мы предлагаем в дальнейшем понимать термин логический тип в смысле следующего определения:

Два множества s i и s j рассматриваются как множества различных логических типов в том и только том случае, если между ними не существует изоморфного отображения, сохраняющего все существенные характеристики каждого множества.