Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Хотя понятия причина и следствие обычно относятся к событиям, понятие событие в каузальном анализе можно заменить на понятие процесс, свойство, переменную. В точных науках исследуется связь между переменными, входящими в математическую зависимость, выражающую некоторый закон. Рассмотрим две переменные, описывающие некоторые свойства системы как функции времени: x(t) и y(t). Про связь между этими переменными y(x) можно сказать следующее:

• во-первых, она может вообще отсутствовать – тогда справедлива нулевая гипотеза;

• во-вторых, она может быть коррелятивной, когда наличие причинной взаимозависимости между переменными не вызывает сомнений, но природа ее остается неизвестной;

• в-третьих, связь эта может быть причинно-следственной, когда изменение переменной x(t) есть причина, по которой изменяется переменная y(t) (или наоборот);

• в-четвертых, связь эта может быть по форме функциональной или коррелятивной, а по способу детерминации – сопутствующей, если существует количественный динамический (статистический) причинный закон с пред или постдетерминацией для каждой из переменных x(t) и y(t), в результате непрерывного действия которого и возникает зависимость между переменными y и x: y(x), которая не является в этом случае причинным законом.

В физике чаще всего исследуется причинно-следственная связь с преддетерминацией между мгновенными значениями переменных. Примером такой связи может служить второй закон Ньютона: a = F/m. Значение ускорения в каждый момент времени равно силе, действующей на тело в этот же момент времени, деленной на его массу. Сила здесь – причина, ускорение – следствие, запаздывания – нет. (Т. к. в процессах с преддетерминацией причина всегда предшествует следствию, запаздывание между моментом начала действия силы и моментом приобретения телом соответствующего этой силе ускорения существует, но полагается пренебрежимо малым.)

Можно расширить понятие причинного закона, считая, что «причинная переменная» может быть не только дифференциальным, но и интегральным, «накопленным» во времени показателем, характеризующим динамическую или эволюционирующую систему.

Так, закон, связывающий мгновенную скорость тела с работой сил на него воздействующих, можно считать причинным законом. В простейшем случае, когда рассматривается движение в однородном силовом поле, можно говорить о причинной связи между пройденным путем и приобретенной телом скоростью. Здесь причинная переменная «накапливается» во времени.

Отметим важный частный случай каузального анализа связи двух динамических переменных x(t) и y(t), когда y(t) = Δx(t) = x(t) – x(t – Δt). Здесь в качестве второй переменной выступает приращение первой за небольшой промежуток времени Δt.

Если переменная x(t) на интервале Δt вызывает свое собственное приращение Δx(t) = f(x)Δt, т. е. является причиной собственного роста (уменьшения), то причинно-следственная связь x(t) <���—> Δx(t) называется обратной связью.

Обратная связь может быть определена не только для функционального причинного закона, но и для причинного закона корреляции; она может быть как положительной (ПОС), так и отрицательной (ООС). Важно понимать, что уравнение Δx(t) = f(x)Δt может и не выражать причинный закон, а связь между x(t) и Δx(t) не являться ПОС или ООС.

Приведем примеры. Примером положительной обратной связи может служить связь между численностью популяции и ее естественным приростом. Рассмотрим закон экспоненциального роста популяции: dN/dt = αN. В этом причинном законе причинной, накопленной переменной является численность популяции N, а переменной-следствием – ее прирост dN за некоторый небольшой, фиксированный промежуток времени dt.

Т. е. здесь мы имеем дело с интегральной, «накопленной в пространстве и во времени» причинной переменной N и дифференциальной, мгновенной характеристикой роста: ежегодным естественным приростом dN. Истинная причина экспоненциального роста популяции заключена внутри черного ящика процесса размножения ее единичной репродуктивной ячейки. Поскольку уравнение, описывающее рост является в этом случае линейным, приросты dN iот разных частей складываются.

Так, например, одна половина популяции может находиться на Земле, а вторая – в другой галактике, и тем не менее закон dN/dt = αN, описывающий суммарный рост, будет по нашему определению причинным, хотя причинной связи между этими половинками не может быть в принципе.

Но если причинный закон роста будет нелинейным, например, квадратичным dN/dt = αN 2, то рост любых двух частей такой популяции должен быть связан причинно , т. к. ежегодный прирост численности на единичную репродуктивную ячейку популяции dN/N = αNdt будет в таком случае зависеть от общей численности N. В этом заключается качественное отличие причинного нелинейного от причинного линейного закона роста популяции.

Как линейный, так и нелинейный закон роста популяции могут и не быть причинными законами, т. е. могут описывать непричинную связь между численностью и скоростью ее роста. Пример такого закона мы рассмотрим ниже. И, наконец, может случиться так, что рост численности популяции будет, например, гиперболическим, но никакого закона, описывающего такой рост в форме автономного уравнения, т. е. уравнения, правая часть которого зависит только от N, – не существует.

Рост численности будет зависеть в этом случае не только от внутренних причин, но и от внешних условий, и в правой части уравнения, описывающего такой рост, будет присутствовать в явном виде время: dN/dt = F(N,t). Примером такого роста может служить, например, рост суммарной растительной клеточной массы в весенний период в Северном полушарии. Даже если бы этот рост оказался гиперболическим, считать, что он обусловлен положительной нелинейной обратной связью между растительной массой и скоростью ее роста, очевидно, нельзя.

Переменная-причина и переменная-следствие могут меняться местами даже при рассмотрении одного и того же функционального закона. Так, при сжатии внешней силой идеального газа в замкнутом сосуде, связь между приростом давления и уменьшением объема газа за малый промежуток времени будет причинной.

Причем скорость прироста давления – причина, а скорость уменьшения объема – следствие. При свободном расширении сжатого газа причинные переменные меняются местами: прирост объема за малый промежуток времени приводит к убыли давления.

В приведенных здесь примерах причинных законов с преддетерминацией, связывающих две переменные, причинная переменная может быть как дифференциальной, так и интегральной. Тогда как переменная-следствие всегда является дифференциальной. Такая асимметрия связана с тем, что событие-следствие, как это обычно принято считать, должно быть локализовано в пространстве и во времени и целиком обусловлено событием-причиной.