Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Изучая разностные уравнения и их приложения, рассмотрим два основных вопроса: 1) Как найти подходящее разностное уравнение для моделирования ситуации? 2) Как понять поведение модели разностных уравнений после того, как её нашли?

Обе эти задачи бывают довольно трудны. Тем не менее, обязательно научитесь моделировать с помощью разностных уравнений, глядя на математические модели, используемые разными авторами в классической литературе, а затем создадите собственные модели. Однако, честно говоря, это не обязательно исключит столкновение с принципиально неразрешимой проблемой. Что касается понимания поведения, которое моделируется разностным уравнением, то обычно не представляется возможным найти явную формулу, как было сделано выше для , описывающего численность популяции в мальтузианской модели. Вместо этого разрабатываются методы извлечения менее точной, но качественной, а не количественной информации из модели.

Конкретное разностное уравнение, обсуждаемое в этом разделе, иногда называют экспоненциальной или геометрической моделью, поскольку модель приводит к экспоненциальному росту и ассоциируется с именем Томаса Мальтуса. Математики, однако, склонны сосредотачиваться на форме уравнения и говорить, что модель линейна. Такая терминология может сбивать с толку, но она важна, когда линейная модель описывает экспоненциальный рост или убывание.

Задачи для самостоятельного решения:

1.1.1. Популяция изначально составляла 100 особей, но из-за комбинированного воздействия рождений и смертей она утраивается каждый час.

а. Составьте таблицу численности популяции для пробегающего значения от 0 до 5, где измеряется в часах.

б. Приведите два уравнения, моделирующих рост популяции, сначала путем выражения через , а затем выразив через .

в. Что можно сказать об уровнях рождаемости и смертности среди населения вашей страны? Земного шара?

1.1.2. На ранних стадиях развития в развивающихся странах открытие новых школ происходит с достаточно регулярной скоростью. Предположим, что количество школ удваивается примерно каждый месяц.

а. Запишите уравнение, моделирующее эту ситуацию. Уточнив, сколько реального времени представлено шагом 1 в параметре и каково было начальное количество школ в период новейшей истории.

б. Заполните таблицу и нарисуйте график числа школ в зависимости от .

в. Сопоставьте полученные результаты с официальными данными Росстата. Это соответствует вашей модели? Какие выводы и/или вопросы это вызывает?

1.1.3. С помощью ручного калькулятора составьте таблицу значений численности населения выбирая в диапазоне от 0 до 6 для следующих моделей. Затем отобразите табличные значения на графике.

а. ,

б. ,

в. ,

1.1.4. Повторите решение задачи 1.1.3(а) с помощью MATLAB, введя последовательность команд, например:

p=1

x=p

p=1.3*p

x=[x p]

p=1.3*p

x=[x p]

…

Возврат к предыдущим командам для их повторения можно осуществлять нажатием клавиши "↑". Объясните, как это работает. Теперь повторите решение с использованием цикла, например:

p=1

x=1

for i=1:10

p=1.3*p

x=[x p]

end

Отступ не является обязательным, но помогает сделать цикл for-end понятнее для чтения. Объясните, как это работает. Визуализируйте полученные данные на графике с помощью команды:

plot([0:10],x)

1.1.5. Для модели, указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что . Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.

1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.

Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72

1.1.7. Заполните пропуски:

а. Модели и представляют растущие значения, когда – любое число в диапазоне _______, а – любое число в диапазоне _______.

б. Модели и представляют уменьшающиеся значения, когда – любое число в диапазоне _______, а – любое число в диапазоне _______.

в. Модели и представляют стабильные значения, когда – любое число в диапазоне _______ и когда – любое число в диапазоне _______.

1.1.8. Объясните, почему модель не может иметь смысла для описания численности популяции, когда .