Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью и . Найдите для .

1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при если всякий раз, когда , имеем .

а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при если всякий раз, когда , имеем .

б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние , если ___.

в. Может ли модель, описываемая равенством иметь устойчивое состояние? Объясните почему.

1.1.11. Объясните, почему модель приводит к формуле .

1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет , то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет , число смертей , число иммигрантов равно , а число эмигрантов равно , для некоторых , , и . Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством и выведите формулу для вычисления .

1.1.13. Как хорошо известно лимнологам и океанографам, количество солнечного света, проникающего на различные глубины воды, может сильно повлиять на численность живущих там организмов. Предположим, что вода имеет равномерную мутность, а количество обитателей на каждом метре в глубину пропорционально количеству поступающего света.

а. Объясните, почему это приводит к модели вида , где обозначает количество света, проникшего на глубину метров.

б. В каком диапазоне должны находиться параметры этой модели, чтобы иметь физический смысл?

в. При и постройте график для .

г. Применима ли аналогичная модель к фильтрации света через полог леса? Применимо ли там предположение о «равномерной мутности»?

1.1.14. В таблице 1.3 приведены данные о численности обучающихся физмат школ.

а. Изобразите данные на графике. Соответствуют ли эти данные геометрической модели роста? Объясните почему да или почему нет, используя графические и численные методы оценки. Можете ли придумать факторы, которые приведут к отклонению от геометрической модели?

б. Используя данные только за 1980 и 1985 годы для оценки скорости роста геометрической модели, посмотрите, насколько хорошо результаты модели согласуются с данными последующих лет.

в. Вместо того, чтобы просто использовать данные 1980 и 1985 годов для оценки показателя роста числа школьников, найдите способ использовать все данные, чтобы получить то, что (предположительно) должно быть лучшей геометрической моделью. Проявите творчество. Есть несколько разумных подходов. Соответствует ли ваша новая модель данным лучше, чем модель из части (б)?

Таблица 1.3. Оценки числа школьников

Год Численность школьников (в 1 000 человек)

1980 213,260

1985 231,658

1990 245,976

1995 254,504

2000 263,368

2005 263,952

2010 302,690

2015 328,602

2020 359,980

1.1.15. Предположим, что популяция моделируется уравнением , где измеряется в единицах. Если решим измерить численность популяции в тысячах единиц, обозначив это число за , то уравнение, моделирующее популяцию, могло измениться. Объясните, почему модель по-прежнему будет простой . Подсказка: обратите внимание на то, что .

1.1.16. В данной задаче исследуем, как изменится модель, если изменить количество времени, представленное приращением переменной на единицу. Важно отметить, что эта ситуация не всегда имеет биологический смысл. Например, для организмов, таких как многие насекомые, поколения не перекрываются. Дрозофилы не воспитывают себе преемников. Но время их размножения имеет регулярное распределение, поэтому использование приращения времени меньшее, чем промежуток между двумя последовательными временами рождения, было бы бессмысленным. Однако для более сложных организмов, таких как люди, с перекрывающимися поколениями и практически непрерывным размножением, нет естественного ограничения на выбор значения приращения времени. Таким образом, популяции иногда моделируются с «бесконечно малым» приращением времени (т.е. дифференциальными уравнениями, а не разностными). Эта ситуация иллюстрирует связь между двумя типами моделей: дискретная и континуальная.