Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

В некоторых из более поздних биографий Пифагора подчеркивается то огромное воздействие, которое он оказал на жизнь в Кротоне. Рассказывают, что Пифагор убедил жителей Кротона отказаться от мздоимства. Он превратил их в совершенных аскетов, преданных братской любви и стремившихся к знанию, справедливости и смыслу. Пифагор был прославленным оратором – несмотря на то что часто говорил из-за занавеса, так, чтобы никто не видел его лица. Этот изящный прием, несомненно, еще более усиливал окружавшую его таинственность: надо бы и мне использовать его, когда я разговариваю со своими студентами.

Прежде чем обосноваться в Кротоне, Пифагор совершил несколько путешествий в поисках фундаментальных знаний. Он побывал в Египте, Финикии, Аравии, Иудее и Вавилоне (который входил тогда в состав Персидской империи). Египтяне научили его геометрии, халдеи – астрономии, а маги – то есть зороастрийцы – преподали ему принципы религии и практические правила добродетельной жизни. Возможно, он даже добрался до Индии (в то время путешествия в Индию были не так популярны, как сейчас). Однако не вполне ясно, с какими именно замечательными людьми он там встретился и какие именно жемчужины мудрости оттуда вынес.

Существует множество версий относительно смерти Пифагора. Как вы, возможно, догадываетесь, они по большей части весьма драматичны. Я же предлагаю вам самую прозаическую из этих версий: Пифагор умер от естественных причин в возрасте 90 лет.

В то время как Пифагор и его ученики исследовали законы Вселенной, они изучали и законы музыки. Вы, конечно, помните, что Пифагор обожал распевать песни Гомера и Гесиода («Величайшие хиты Древней Греции»), бренча на своей лире. Пифагор полагал, что музыка оказывает огромное влияние на душу и может вызывать чрезвычайно сильные эмоции. Если вы в этом сомневаетесь, прочтите «Крейцерову сонату» Льва Толстого. Сейчас нам ясно, что открытое Пифагором наличие у музыкальных гамм численной основы сильнейшим образом повлияло на пифагорейцев. Можно привести множество разных примеров проявления этой численной основы. Например, Пифагор установил, что длины струн двух нот, отстоящих друг от друга в точности на одну октаву (например, от до – до – до), соотносятся как 1:2. Струны двух нот, отстоящих на квинту (например, до – соль), находятся в соотношении длин 2:3, а струны двух нот, отстоящих на кварту (например, до – фа) – в соотношении 3:4.

Музыка есть удовольствие, которое человеческий разум испытывает от счета, не сознавая, что он считает.

Открытие Пифагора – что музыку можно преобразовывать в математические выражения – было важным шагом на его пути к сенсационному выводу, что и весь мир в целом так или иначе основан на числах. Более того, Аристотель отмечает в «Метафизике», что пифагорейцы первыми стали изучать математику и пришли к заключению, что законы математики управляют законами всего сущего.

Какие научные законы гарантируют, что должны существовать научные законы?

Математика управляет и изобразительным искусством. Перспектива основана на геометрии и пропорциональности (размеры предметов, изображенных на двумерной поверхности, уменьшаются пропорционально увеличению расстояния от зрителя), а принципы композиции основываются на свойствах геометрических фигур.

Геометрия есть основа всей живописи.

Но Пифагор пошел на шаг дальше. Он также использовал язык геометрии для определения хорошего и дурного, правильного и неправильного. Например, вместо терминов «хороший» и «дурной» он употреблял слова «прямой» и «искривленный» (по-гречески, разумеется). Мы и сейчас иногда называем нечестное «кривым», а ложь «кривдой». Прямая линия казалась ему благородной, искривленная – неблаговидной. Возможно, отголоски этой концепции до сих пор можно найти в выражении «прямой человек», так как никакой связи между осанкой человека и его искренностью или добросовестностью, разумеется, нет.

Аристотель сказал однажды, что истинные друзья – это два тела с одной общей душой. А как определял дружбу Пифагор? Тут нас ожидает сюрприз.

По словам ученого-неоплатоника Ямвлиха (ок. 245 – ок. 325), автора еще одной биографии Пифагора, пифагорейское определение дружбы выражается двумя числами – 284 и 220.

Что?! Почему?!

Чтобы понять, откуда взялась эта идея, сложите все делители числа 220 (числа, на которые 220 делится без остатка), а затем сложите все делители числа 284. Сами эти числа включать в суммы не нужно.

Делители 220 – 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, а их сумма равна 284.

Делители 284 – 1, 2, 4, 71 и 142, а их сумма равна (чему бы вы думали?) 220!

Пифагорейцы считали, что близкие друзья подобны паре чисел, сумма делителей каждого из которых равна второму числу. В математике такую пару чисел называют дружественными числами.

Другие пары дружественных чисел можно найти при помощи компьютера. Помимо пары (220, 284) есть еще (1184 и 1210), (2620 и 2924), (5020 и 5564) и (6232 и 6368). Кроме этих пяти, других таких пар среди чисел до 10 000 нет. Если вам совсем нечего делать, попробуйте проверить, действительно ли эти пары – пары дружественных чисел. Другими словами, сложите собственные делители каждого числа (без самого этого числа) и посмотрите, равна ли их сумма второму числу пары.

Если хотите, вы можете взяться и за еще более трудную задачу – попытаться найти другие пары дружественных чисел. Для этого вы, вероятно, захотите прибегнуть к помощи компьютера, но имейте в виду, что в 1636 г. французский математик-любитель Пьер Ферма установил, что числа 17 296 и 18 416 образуют пару дружественных чисел, а два года спустя знаменитый французский философ и математик Рене Декарт открыл еще одну такую пару – 9 363 584 и 9 437 056.

На Декарта произвела глубокое впечатление концепция «бесконечности». В книге «Рассуждения о первой философии» он даже использует эту концепцию для «доказательства» существования Бога. Рассуждает он при этом приблизительно следующим образом:

«Поскольку сам я – существо конечное, я, очевидно, не могу изобрести концепцию бесконечности, так как по-настоящему охватить в своих мыслях понятие бесконечности может лишь нечто, само бесконечное. Следовательно, создателем концепции бесконечности может быть только Бог. Поскольку я могу осознать бесконечного Бога, а Бог – единственный, кто мог создать эту идею, значит, справедливо утверждение, что Бог существует!»

В XVII в. компьютеров не было – не говоря уже об интернете и социальных сетях, – что делает достижения Ферма и Декарта еще более поразительными. Как же они открыли эти огромные дружественные числа? Читайте дальше. По мнению некоторых историков математики, Декарт добился этого не вполне самостоятельно. На самом деле ту пару дружественных чисел, которую он опубликовал, нашел еще в XVI в. персидский математик Бакир Язди! Хорошо известно, что арабские математики знали довольно много пар дружественных чисел задолго до того, как их заново обнаружили математики Запада.