Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

В 2002 г. 18-летняя Захаревич прочитала воспоминания Фейнмана. «Я не знала, что такое дифференцирование под знаком интеграла. Я спросила отца, и мы обсудили подход в целом». Затем в один прекрасный день в октябре преподаватель курса Math 55 Ноам Элкис показал студентам формулу:

В математике символ! не выражает энтузиазма. Он говорит об операции «факториал», которая означает «перемножьте все натуральные числа от 1 до этого числа».

Очень круто. Очень мило выглядит. Но это определение чрезвычайно ограниченно: оно имеет смысл только для целых чисел.

В начале XVIII в. Леонард Эйлер нашел новый способ определить факториал – тот самый интеграл, который Элкис показал студентам Math 55. Это обещало распространить понятие на все числа и позволить вам вычислить π! или 1,8732! или √ –2! – в общем, все, что вашей душеньке угодно.

Есть только одна проблема: можем ли мы быть уверены, что новое определение полностью соответствует старому? Как мы узнаем, что они равны для таких чисел, как 3 и 11?

Захаревич смотрела, как Элкис развертывает стандартное доказательство равенства на примере: повторяющееся, утомительное применение интегрирования по частям. Это широко распространенный и в данном случае достаточно тяжеловесный метод. «Я была подавлена, – вспоминает Захаревич, – потому что доказательство было таким безобразным».

Она была ответственной ученицей и повторила все грубые алгебраические рассуждения на проведенной в тот же день контрольной. Но на обороте Инна написала альтернативное доказательство, применив любимый метод Фейнмана. «Я действительно хотела, чтобы Элкис знал это на будущее», – объяснила она. В доказательстве, которое я воспроизвожу ниже, скорее для красоты, чем с какой-либо еще целью, Захаревич вводит новый параметр, берет производную относительно него, а затем позволяет ей снова раствориться в тени. Эта производная – как совершенно незнакомый человек на дороге, который меняет вашу лысую покрышку, а затем уезжает, а вы так и не успели сказать ему спасибо.

Элкису это понравилось. Пылая учительской гордостью, он опубликовал доказательство в интернете, где спустя 16 лет на него наткнулся я.

«Применять это, – признает Захаревич, – действительно скорее искусство, чем наука».

Уверен, Фейнман одобрил бы подобное доказательство. Это полная дискредитация уроков математики и триумф математического клуба, более хитрого подхода, который определял все в жизни ученого. Возьмите его более позднюю работу в школьных советах. Как вспоминал биограф Джеймс Глик:

Он предложил первоклассникам учиться сложению и вычитанию примерно так же, как он вычислял сложные интегралы, – то есть выбрав любой метод, подходивший для решения этой задачи. В то время принято было считать, что «ответ не имеет значения, пока используется правильный метод». В понимании Фейнмана ничего хуже невозможно было придумать. «Ответ – это все, что имеет значение», – говорил он. Целая куча методов всегда лучше, чем один общепринятый.

Фейнман любил демонстрировать свой набор трюков. Однажды он предложил коллегам по Лос-Аламосу сформулировать любую задачу за десять секунд, пообещав вычислить решение меньше чем за минуту с точностью до 10 %. Его друг Пол Олам задел гордость Ричарда, спросив о тангенсе 10 100(гугола), что потребовало бы вычислить 1/π с точностью до сотни цифр после запятой: слишком много даже для будущего нобелевского лауреата.

В другой раз Фейнман похвастался, что всё, что другие могут решить традиционным методом интегрирования по контуру, он сможет решить другими способами. Он выдержал несколько трудных задач и спасовал, только когда Олам – эта великолепная Немезида – дал «этот чертов огромный интеграл… Он развернул его так, что решить можно было только с помощью интегрирования по контуру! – вспоминает Фейнман. – Он всегда побеждал меня таким образом!». В этом вся радость и разочарование интегралов: никто – возможно, за исключением Пола Олама, – не может знать все трюки.

К 1917 г. Альберт Эйнштейн уже сделал себе имя. Если говорить конкретно, он был «тем самым Эйнштейном». Он вычислил размер атомов, заявил об эквивалентности материи и энергии, заложил начала квантовой физики и ввел в моду прическу, которую с полным правом можно назвать «взрыв сверхновой». Впечатляющее резюме, но больше всего Альберт гордился своей общей теорией относительности. Ее основное уравнение обладало неповторимой элегантностью. Оно обещало потрясающее путешествие в космос. Оно было ударом ногой с разворота прямо в лицо ньютоновской механике. Эта реальность была такой странной, что в газете The New York Times беспокоились, не поставит ли она под сомнение «даже таблицу умножения». И вся теория строилась на простом прозрении: Вселенная не является коробочкой, в которую сложены звезды и планеты. Она изгибается, она искривляется при наличии материи.

Настало время для мысленного эксперимента. Представьте себе, что я сижу на пенечке и наблюдаю, как мимо проносится луч света с неизменной скоростью 300 млн м/с. Тем временем вы гонитесь за лучом, пролетая мимо меня с огромной скоростью, скажем 200 млн м/с.

От кого луч удаляется быстрее – от меня или от вас?

Сложный вопрос! Скорость света – универсальная постоянная. Она всегда составляет 300 млн м/с и не изменяется никогда, ни для кого – даже для суперскоростного вас. Что меняется, так это кое-что менее прочное и более податливое: ткань пространства и времени. С моего места на пенечке свету требуется три секунды, чтобы покрыть 300 млн м до вас. С вашего места на звездолете «Энтерпрайз» для этого потребуется одна-единственная секунда. Таким образом, мои карманные часы идут в три раза быстрее, чем ваши.