Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Увы, они не могут просто применить фундаментальную теорему математического анализа. Она для кривых, которые определяются аккуратными формулами, а не для тех, которые появились в результате игры «соедини точки» и основаны на эмпирических данных. Для таких неаккуратных реальностей нужны методы аппроксимации.

Именно этому посвящена статья Тай. «В модели автора, – объясняется в ней, – общая площадь под кривой вычисляется с помощью разделения этой области на маленькие сегменты (прямоугольники и треугольники), площадь которых можно точно вычислить с помощью соответствующих геометрических формул».

Тай пишет, что «при использовании других формул часто происходит существенная недооценка или переоценка общей площади области под метаболической кривой». Ее метод, напротив, вычисляет площадь с точностью до 0,4 %. Это умный геометрический трюк, если только не считать одного крошечного недочета.

Это Матан 101 [50] Автор ссылается на название курса по математическому анализу, причем код 101 обозначает курс введения в дисциплину. – Прим. пер. .

Многие века математики знали, что, когда дело доходит до практической аппроксимации, есть методы намного лучше, чем Римановы контуры зданий-прямоугольников. В частности, вы можете определить ряд точек на вашей кривой, а затем соединить их прямыми. Таким образом получится вереница длинных, тонких трапеций.

Забудьте 1994 г. Этот метод не был нов ни в 1694 г., ни в 94 г. до нашей эры. Древние вавилоняне использовали его, чтобы вычислить расстояние, которое проходит по небу планета Юпитер. Тай написала, рецензент одобрил, а Diabetes Care опубликовал работу тысячелетней давности, то, что трудолюбивый студент первого курса может сделать, выполняя домашнее задание. И все это подано так, будто является новым.

Математикам выпал день, богатый на возможности повеселиться.

Результат № 1. Несогласие и неодобрение. «Тай предложила простую, хорошо известную формулу, подчеркнув, что это ее собственная математическая модель – так было написано в одном из критических писем, полученных Diabetes Care , – и при этом допустила ошибку».

Результат № 2. Насмешки. «Потрясающее игнорирование математики!» – отметил один комментатор в интернете. «Это смешно!» – написали несколько других.

Результат № 3. Примирение. «Главный урок, который мы должны извлечь из этого, состоит в том, что рассчитать площадь областей под кривой достаточно трудно», – написал исследователь диабета, чью более раннюю работу раскритиковала Тай (как выяснилось, эта критика была основана на неправильном понимании). Письмо заканчивалось в примирительном тоне: «Боюсь, я тоже должен разделить ответственность за свой вклад в эту путаницу».

Результат № 4. Возможности для обучения. Два математика выразили несогласие с тем, на чем Тай пыталась настаивать. Она пыталась доказать, что ее формула связана не с трапециями, а с треугольниками и прямоугольниками. Они же нарисовали для нее картинку: «Как становится очевидно, если посмотреть на изображенную ниже фигуру… маленький треугольник и вытянутый прямоугольник составляют трапецию».

Результат № 5. Самокритика. «Как самоуверенный физик, – написал один комментатор в ответ на забавный пост в блоге, – я нахожу это смешным, но не могу перестать думать о том, что из-за этого поста мы выглядим даже хуже, чем они… Уверен, вы найдете множество физиков, которые говорят исключительно невежественные вещи о медицине или экономике».

К тому же исследователи-математики также известны тем, что заново изобретают колесо. Во время учебы в аспирантуре легендарный Александр Гротендик самостоятельно воссоздал интеграл Лебега, не понимая, что повторяет старую работу.

Как утверждает Тай, она не пыталась прославить свой метод. «Я никогда не думала о том, чтобы опубликовать модель как великое открытие или достижение», – писала она. Но коллеги «начали использовать ее и… поскольку исследователи не могут ссылаться на неопубликованную работу, я пошла на то, чтобы напечатать ее по их просьбе». Она просто пыталась поделиться своими мыслями, способствовать дальнейшему изучению.

Увы, в научном сообществе публикация статьи не означает, что вы лишь хотите поделиться с кем-то информацией. Это больше чем просто сказать: «Вот штука, которую я знаю!» Это нечто вроде демонстрационного щита, заявления: «Эй, вот штука, которую я знаю, потому что открыл ее, поэтому, пожалуйста, поставьте мне высокую оценку. Спасибо вам и доброй ночи».

У системы публикаций есть свои пороки. «Мы можем участвовать в научном дискурсе единственным способом, – пишет математик Изабелла Лаба, – публикуя исследовательские статьи. То есть фактически нам нужно получить новые, интересные и значительные результаты, и только тогда нам будет позволено внести свой вклад в науку».

Лаба сравнивает такую ситуацию с экономикой, где самой маленькой купюрой является 20-долларовая. Как кто-то в таком мире может получить сдачу в булочной? Вам придется или уговаривать клиентов покупать маффины сразу на двадцать баксов, или раздавать выпечку бесплатно. Тай предпочла заработать двадцатку, но ни один из этих вариантов не хорош. «Нам нужно ввести в оборот банкноты меньшего достоинства, – пишет Лаба. – Должна быть возможность сделать менее значительный вклад, скажем, в виде полезного комментария в блоге».

Интегралы нужны не только математикам. Гидрологи используют их, чтобы оценить поток загрязняющих веществ, проходящих через грунтовые воды; биоинженеры – чтобы проверить теории легочной механики; экономисты – чтобы проанализировать распределение доходов среди населения, его отклонение от состояния идеального равенства. Интегралы применяют исследователи диабета, механики, немного одержимые русские классики, да и все люди, которые ищут площадь области под кривой, бесконечную сумму стремящихся к нулю частей. Интеграл – это молоток в мире, полном гвоздей, и он не принадлежит только тем, кто его сделал.