Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Я считаю, что это город, такой, каким мы знаем его сегодня. В XXI в. мы обнаружили, что связаны не по географическому принципу (восток или запад) – подход Римана, но по более абстрактному критерию – метод Лебега. Цифровая эпоха реорганизовала нас: Facebook соединяет с друзьями, LinkedIn – с коллегами и работодателями, Tinder делит по сексуальной привлекательности, а Twitter – на знаменитостей голубых кровей и немытых плебеев. Лебег жил в головокружительном городе Римана, а мы с вами живем в странных многоярусных ландшафтах, которым Лебег нашел новое определение.

В основе каждого раздела математики лежит правило, настолько глубокое, что оно становится известно как фундаментальная теорема. Оливер Нил, математик-исследователь, когда-то выявил более 150 таких кратких основных законов в различных областях, начиная с геометрии – a 2+ b 2= c 2 – и заканчивая арифметикой – каждое число можно разложить на простые множители (и «Бойцовским клубом»: «первое правило “Бойцовского клуба” – не упоминать о “Бойцовском клубе”». Я шучу: Нил, конечно же, выполнил это правило, не включив его в свой список). В любом случае во всей этой тверди оснований самая великая теорема из всех относится, как вы уже догадались, к тригонометрии.

Да нет, я снова пошутил. Математический анализ здесь на голову выше всех остальных. И первым математиком, который подарил нам фундаментальную теорему матана, была Мария Гаэтана Аньези [46] Заметим, что основная теорема анализа в русских источниках обычно зовется формулой Ньютона – Лейбница. На самом деле ее знали и успешно применяли к решению «квадратурных» задач еще предшественники Ньютона, двое из тех гигантов, на чьих плечах он, по его собственному выражению, стоял, – Джеймс Грегори (1638–1675) и Исаак Барроу (1630–1677). Иначе говоря, теорема стала использоваться в математике примерно за полтора века до Марии Гаэтаны Аньези. Однако этой формулы (и даже ее эквивалентной словесной формулировки) нет в трудах Лейбница. – Прим. науч. ред. .

Мария родилась в 1718 г., и к 1727 г. она бегло говорила на французском, греческом, латинском и иврите, не считая родного тосканского диалекта. Также она по праву прославилась своей речью, которую хотя и не написала, но перевела на латынь, запомнила и рассказала. Речь была посвящена защите прав женщин на образование, и ее главным аргументом, как я подозреваю, была сама личность оратора.

Отец Марии наслаждался ее успехом. Он был разбогатевшим купцом и видел в способностях дочери потенциальную возможность повысить социальный статус всей семьи.

Вскоре Аньези – старший ребенок в семье, где у нее было 20 братьев и сестер, – стала достопримечательностью обеденных мероприятий, которые называли conversazioni . Буквально это слово переводится как «разговоры», но более точное его значение – «вечеринки умников». Между музыкальными интерлюдиями гостей приглашали обсудить со вступившей в подростковый возраст Марией вопросы науки и философии. Она выступала с импровизированными речами об оптике Ньютона или движении приливов, затем вела беседу, отвечая на вопросы собравшихся о метафизике или математических кривых. После, в конце вечера, всех обносили шербетом! Даже не знаю, что это было: тоска типа урока латыни или же веселуха типа тусовки с мороженым на уроке латыни.

Очевидно, сама Аньези пребывала в смешанных чувствах. Учиться, спорить и болтать о науке? Она была руками и ногами за. Привлекать к себе внимание, соревноваться и выбивать для себя социальный статус? Этого не так уж сильно и хотелось. К 20 годам Мария выторговала у отца освобождение от conversazioni . Вместо этого она проводила время, работая в больницах, обучая неграмотных женщин чтению и помогая бедным и больным. Ну, знаете, все эти занятия бунтующей против родителей дочери.

В 30 лет Аньези опубликовала свою первую и единственную книгу «Основы анализа для итальянской молодежи» (Instituzioni Analitichead Uso della Gioventù Italiana). Первоначально книга задумывалась как способ обучить математике младших братьев Марии, но потом превратилась в нечто большее – способ обучить математике младших братьев кого угодно . «Она пришла к мысли, – говорит историк Массимо Маззотти, – что может работать над более амбициозным проектом – введением в математический анализ, который проведет новичка от начал алгебры к новым дифференциальным и интегральным методам. Это стало бы великолепной работой по обобщению…»

В самом деле, труд должен был стать самой полной, доступной и хорошо организованной книгой, когда-либо написанной по математическому анализу, а также первой работой, объединяющей интеграл и производную под одной обложкой. Такой всеобъемлющий охват позволил Аньези подчеркнуть маленький и давно известный факт. То, что даже можно назвать фундаментальным фактом.

Итак, перейдем к фундаментальной теореме матана.

Для математиков обратные процессы – это действия, которые отменяют друг друга, уравновешивая противоположности. Представьте, что вы прибавляете 5, а затем отнимаете 5. Первое действие приведет вас от А к В, а второе – от В к А.

То же самое происходит с умножением и делением на 3. Возьмите любое число, умножьте на 3, а потом разделите на 3. Дайте я угадаю: вы получили то самое число, которое было вначале! Мне стоило бы податься в экстрасенсы, правда?

В математике очень много подобных противопоставленных пар. Возведение тройки в квадрат дает 9, квадратный корень из 9 возвращает тройку. Геометрическая прогрессия превращает 2 в 100, логарифм делает из 100 снова 2. Год занятий наполняет невежественный разум знаниями, лето возвращает его к первоначальному состоянию.

Фундаментальная теорема математического анализа – это простой и потрясающий факт: производная и интеграл противоположны друг другу . Я не вкладываю в эти слова обычного, фигурального смысла. Это не то же самое, что сказать «Гермиона и Рон – полные противоположности друг другу», потому что она рассудительна, а у него горячая голова, она девушка, а он парень, она умна, а он… ну, в общем, Рон. Нет, я говорю о противоположности в точном математическом смысле.