Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Что нам нужно, так это производная. Если мы будем поднимать цену с бесконечно малым приращением, как это скажется на выгоде?

Производная положительна? Это означает, что подъем цены увеличит выгоду. Иными словами, мы назначаем слишком низкую цену.

Отрицательная производная? Это означает, что снижение цены принесет выгоду, поскольку привлечет больше клиентов. Иными словами, мы назначаем слишком высокую цену.

Мы хотим найти особый момент – цену, при которой производная точно равна нулю.

Максимум – это момент перехода, когда производная из положительной превращается в отрицательную. Между тем минимум – это полная противоположность: момент, когда производная из отрицательной превращается в положительную. Логика на самом деле очень простая: если ты в минимуме, просто двигайся вперед – и подъем начнется. Это лучшее, что можно сделать.

Мы определили максимум не по его общим свойствам («это самая высокая из всех точек графика»), но по частным характеристикам. Посмотрите на левую часть графика, она поднимается вверх. Посмотрите на правую – она снижается. Посмотрите прямо на обозначенную на нем точку: здесь производная равна нулю. Это определение максимума исходя из анализа бесконечно малых. Это очень остроумный трюк, похожий на то, как определить вершину горы с помощью анализа образца почвы.

Первой публикацией в истории математического анализа была статья Лейбница, вышедшая в 1684 г., – «Новый метод максимумов и минимумов» ( Nova Methodus pro Maximis et Minimis ). «В мире не происходит ничего, – однажды сказал математик Леонард Эйлер, – в чем не был бы виден смысл какого-либо максимума или минимума» [9] Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или Решение изопериметрической задачи. – М.-Л., 1934. – С. 447. .

Когда Лейбницу было слегка за двадцать, он решил присоединиться к эксклюзивному сообществу алхимиков. (Да, это был XVII в., все занимались этим.) Чтобы доказать свою алхимическую состоятельность, Лейбниц составил список профессиональных жаргонных слов, из которых соорудил длинное, выразительное и достаточно бессмысленное письмо с просьбой о приеме. Это сработало: пораженные алхимики выбрали его своим секретарем. Но – ну еще бы! – Лейбниц разглядел правду через обман. Он ушел через несколько месяцев, позднее объявив группу «братством золотодобытчиков».

Для меня в этом весь Лейбниц. Во-первых, вы овладеваете языком. Затем появляется истина, какой бы она ни была. Менее чем через десять лет после овладения невнятной галиматьей алхимиков этот резкий молодой человек разработал математический словарь, который миллионы людей используют по сей день.

Смог ли он когда-либо превратить свинец в золото? Нет. Он сделал лучше: превратил строчную букву d в неподвластный времени язык мгновения.

На первых страницах «Жизни на Миссисипи» Марк Твен [10] Здесь и далее цит. по: Твен М. Собр. соч. в 12 т. Т. 4 – Жизнь на Миссисипи / Пер. Р. Райт-Ковалевой – М.: Государственное издательство художественной литературы, 1960. – С. 232. показывает читателям то, чего они так страстно желают, – статистику. Длина реки Миссисипи составляет 6920 км. Ее бассейн – 3 237 485 км 2. Ежегодно она наносит 406 млн тонн ила. «Если бы эту грязь уплотнить, – рассчитывает Твен, – вышел бы массив площадью в квадратную милю (1,6 км 2. – Здесь и далее прим. ред .) и вышиной в двести сорок один фут (73 м)». Это все чрезвычайно познавательно, хотя, возможно, несколько сухо для писателя, чьи книги то провозглашались самыми забавными, то запрещались как богохульные.

Но не беспокойтесь, фанаты Марка Твена! Этот человек сам сказал: «Вначале дайте ваши факты, а потом можете переиначивать их столько, сколько вам заблагорассудится». Такой виртуозный выдумщик, как Твен, мог рассказывать истории о чем угодно – даже о числах. Для примера:

Все эти сухие подробности важны потому, что дают мне возможность рассказать об одной из характернейших особенностей Миссисипи – о том, как она время от времени сокращает себе путь [11] Там же. – С. 349. .

Как и во всех старых реках, воды Миссисипи струятся через лениво петляющие повороты. На одном участке своего течения она извивается так, что тянется на 2000 км, тогда как по прямой там всего 1086 км. И время от времени река прорезает узкие перешейки земли, укорачивая свое русло. «Не раз она сокращала свой путь на тридцать миль (48 км) одним прыжком» [12] Твен М. Указ. соч. – С. 351–352. , – говорит Марк Твен. По сравнению с тем, что было за 200 лет до того, как вышла книга Твена, нижний отрезок реки между Каиром, штат Иллинойс, и Новым Орлеаном, штат Луизиана, сократился с 1955 до 1899 км, а затем до 1688 км и даже 1566 км.

Здесь снова дадим слово рассказчику:

У геологии никогда не было таких точных данных для умозаключений… А тут посмотрите сами!

За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили (390 км), то есть в среднем примерно на милю и одну треть (2,15 км) в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет, – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль (2 092 147 км) в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину (2,82 км), а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами [13] Там же. – С. 233. .