Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Одна из наиболее интересных и парадоксальных черт фракталов – их размерность. Слово “размерность” обычно вызывает две ассоциации: первая – это размеры какого-либо объекта, вторая – некое направление в пространстве, одно из измерений, о которых мы говорили во второй главе. Мы говорим о кубе, что он имеет размерность 3, поскольку его грани лежат в плоскостях, простирающихся в трех разных направлениях под прямыми углами друг к другу. Это второе, интуитивное, понимание размерности – количество перпендикулярных направлений, в которых можно передвигаться, – приблизительно соответствует тому, что в математике называется топологической размерностью. Сфера имеет топологическую размерность 2, потому что мы можем передвигаться по ней в направлениях, обозначаемых как север и юг или восток и запад. А вот шар имеет топологическую размерность 3, поскольку у него также есть направления “вверх” и “вниз”, где “вниз” – это к центру шара, а “вверх” – от центра, как у нас на Земле. Топологическая размерность может быть даже 4 и больше, как мы видели во второй главе (например, тессеракт имеет топологическую размерность 4), но она всегда выражается целым числом. С фракталами, однако, дело обстоит по-другому. Фрактальная размерность показывает, грубо говоря, насколько хорошо кривая заполняет плоскость или насколько хорошо поверхность заполняет пространство.

Первый, второй и четвертый этапы построения кривой Коха.

Снежинка Коха.

Есть много разных видов фрактальной размерности. Одна из наиболее легких для понимания – размерность Минковского, еще ее можно назвать “клеточной” ( box-counting ) размерностью. Чтобы высчитать ее для побережья Великобритании, накроем карту прозрачной пленкой, расчерченной на квадратные клетки, и сосчитаем количество квадратиков, перекрывающих береговую линию. Затем разделим каждую из клеток нашей сетки пополам по горизонтали и вертикали и посчитаем снова. Если проделать это для прямой линии, количество клеток просто удвоится, то есть вырастет в 2 1раза, где степень (1) – это клеточная размерность. Если то же проделать с квадратом, то количество клеток увеличится в четыре раза, то есть вырастет в 2 2раза, и даст размерность 2. А в случае с кубом (для этого понадобится трехмерная сетка) количество клеток увеличится в восемь раз, то есть вырастет в 2 3раза, поскольку куб имеет три измерения.

Большинство привычных нам фигур имеет размерность, выражаемую целым числом – 1, 2 или 3. С фракталами все по-другому. Возьмем, к примеру, снежинку Коха. Чтобы было проще, воспользуемся тем, что каждый составляющий ее элемент – кривая Коха – состоит, в свою очередь, из четырех кривых Коха меньшего размера. Если мы в три раза уменьшим сторону клетки в нашей измерительной сетке, то сможем разделить кривую Коха на четыре ее уменьшенных копии, каждая из которых будет в три раза меньше исходной. Каждая из уменьшенных копий перекрывается таким же количеством маленьких клеток, как было вначале с исходной кривой и большими клетками, – то есть общее число клеток увеличилось в четыре раза. Это позволяет нам рассчитать размерность кривой Коха d (она же размерность снежинки Коха, поскольку снежинка построена из этих кривых) из соотношения 3 d = 4. Решив это уравнение, мы получаем значение d , равное примерно 1,26, то есть снежинка Коха имеет размерность приблизительно 1,26. Это число как бы говорит нам о том, насколько снежинка Коха в любом масштабе, какой бы мы ни выбрали, более извилиста, чем прямая линия. Или же можно сказать, что оно указывает на то, насколько снежинка Коха заполняет (двумерную) плоскость, в которой лежит. Снежинка Коха слишком сложна, чтобы быть одномерной, но слишком проста, чтобы быть двумерной. Прямая линия совершенно никак не заполняет плоскость, поскольку не только бесконечно тонка, но и очень проста по форме. Фракталы вроде снежинки Коха тоже бесконечно тонки, но настолько замысловаты по своей структуре, что, какие бы две точки мы ни взяли, даже если при малом масштабе они сливаются, расстояние между ними, измеренное вдоль кривой, бесконечно.

Если применить клеточный метод к салфетке Серпинского, мы получим значение d , равное 1,58. То, что объекты могут иметь размерность, выражаемую нецелым числом, кажется очень странным. И эта странность переходит из области чистой математики на объекты реального мира.

Фракталы, такие как снежинка Коха и салфетка Серпинского, самоподобны, то есть состоят из последовательно уменьшающихся копий самих себя. Большинство природных фракталов не являются самоподобными в строгом смысле слова. Но статистически они обладают самоподобием, поэтому их фрактальную размерность все равно можно вычислить описанным выше методом. Например, измеренная таким образом фрактальная размерность береговой линии Великобритании составляет 1,25, что очень близко к размерности снежинки Коха. Проще говоря, это означает, что британское побережье при рассмотрении в каком угодно масштабе в 1,25 раза более извилисто, или “неровно”, чем прямая линия или любая другая простая кривая. Береговая линия Южной Африки представляет собой куда более гладкую кривую – ее фрактальная размерность всего 1,05. Побережье Норвегии с ее многочисленными глубокими фьордами затейливой формы имеет размерность 1,52. То же и со многими другими природными фракталами. Яркий пример – человеческое легкое. Поскольку само легкое очевидно трехмерно, его поверхность, по идее, должна быть двумерной. Однако в процессе эволюции легкое обрело огромную площадь поверхности – около 80–100 квадратных метров, в половину теннисного корта, – чтобы максимально ускорить газообмен. Поверхность легкого имеет настолько причудливую форму, со всеми его бесчисленными разветвлениями и крохотными воздушными пузырьками – альвеолами, – что она почти заполняет содержащееся внутри него пространство. Поверхность легкого имеет фрактальную размерность, если измерять ее клеточным методом, примерно 2,97 – она почти трехмерна.

В реальном мире существует только три пространственных измерения, но иногда “четвертым измерением” считают время. Неудивительно поэтому, что фракталы могут существовать не только в пространстве, но и во времени. Пример из экономики – рынок ценных бумаг. Цены на рынке периодически существенно повышаются и понижаются. Некоторые из этих колебаний занимают годы, другие (например, биржевые крахи) могут происходить крайне быстро. Кроме них есть и более умеренные колебания, когда цены поднимаются и снижаются вроде бы независимо от более долговременных трендов, и совсем уж скромные подъемы и падения, происходящие по много раз в день. Поскольку любое колебание на фондовом рынке фиксируется компьютерами, все эти тренды можно отследить вплоть до самых коротких промежутков времени – поминутно и даже посекундно.