Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Гравюра с портретом Пьера де Ферма.

Надо сказать, что Ферма был математиком поистине великим и в просчетах замечен не был. Ни в одном из опубликованных им доказательств не обнаружилось ошибок. Опровергнута была всего одна из его гипотез, причем Ферма и не утверждал, что может ее доказать. Так что же, его загадочный комментарий на полях был шуткой? Может, он таким образом бросал вызов современным ему и будущим математикам, пытаясь подтолкнуть их к поискам доказательства? Или же доказательство у него и правда было и ему действительно просто не хватило места, чтобы его изложить? История подсказывает, что последнее маловероятно: несмотря на многочисленные попытки решить проблему, никому в последующие столетия не удалось найти умеренно лаконичного доказательства. Лишь в 1995 году, через 358 лет после того, как Ферма начертал на полях свою дразнящую воображение заметку, его гипотеза была наконец переведена в разряд доказанных теорем, а потребовавшийся для этого математический арсенал по своей сложности намного превышал все, что было доступно в XVII веке.

Заслуга доказательства теоремы принадлежит британскому математику Эндрю Уайлсу, который “заболел” гипотезой Ферма в десятилетнем возрасте, впервые прочитав о ней по дороге из школы домой в книге, взятой в местной библиотеке. Почти четверть века спустя он всерьез занялся поиском доказательства. Эта работа привела его в область математики, связанную с эллиптическими кривыми и гипотезой Таниямы – Симуры, которую в 1957 году сформулировали японские математики Ютака Танияма и Горо Симура. Уайлс объявил о том, что нашел доказательство Великой теоремы Ферма, во время лекции в 1993 году, но впоследствии в нем был обнаружен изъян, и только два года спустя, уже почти отчаявшись исправить ошибку, Уайлс наконец представил миру безупречное доказательство, решившее вопрос окончательно и бесповоротно. Хотя Великая теорема Ферма – одна из самых известных сложных математических проблем, ее решение не так уж существенно для математики. Она, например, не была включена в составленный Гильбертом список кардинальных проблем. Зато гипотеза Таниямы – Симуры устанавливает важные взаимосвязи между, казалось бы, совершенно различными областями математики.

Доказательства, подобные найденному для Великой теоремы Ферма, непросты потому, что они мудреные и требуют поистине творческих прорывов. Другие сложны в основном из-за того, что трудоемки и немыслимо затратны по времени. Так называемая теорема о четырех красках, которая гласит, что любую карту можно раскрасить всего четырьмя красками так, чтобы ни в одном месте граничащие друг с другом регионы не оказались одного цвета, была впервые сформулирована в 1852 году в письме Огастеса де Моргана, первого профессора математики недавно открытого Университетского колледжа Лондона, своему другу, ирландскому математику Уильяму Гамильтону. Ограничения задачи: каждая из областей на карте должна быть связной; все области должны лежать на плоскости; граничащими друг с другом считаются области, имеющие общий участок границы, стык в одной точке не считается. Как выяснилось, доказать это совсем не просто. Одни теоретические выкладки – уже не подарок, но основная трудность была даже не в них, а в огромном количестве вариантов, требующих проверки. И вот, после более чем ста лет работы и изучения всех возможных карт, математикам удалось свести число уникальных конфигураций к 1936. Однако для проверки даже такого количества вариантов ни одиночному исследователю, ни группе ученых не хватило бы жизни, поэтому для обработки данных задействовали компьютеры. Наконец в 1976 году теорема о четырех красках была доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном из Иллинойского университета и все перепроверено с помощью различных программ и компьютеров.

Несмотря на скрупулезную проверку Аппелем и Хакеном результатов компьютерной обработки данных, проделанная ими работа вызвала бурный протест ряда математиков и философов, утверждавших, что “машинное” доказательство либо нелегитимно, либо ненадежно, поскольку его невозможно проверить вручную. Споры о том, допустимо ли использовать компьютеры для доказательства теорем, не прекращаются и сегодня – из-за опасений получить неверный результат, если вдруг компьютер даст сбой или в программное обеспечение закрадется ошибка. И все же в силу необходимости этот подход получает со временем все большее распространение и признание. Сколько-то развеять сомнения скептиков позволят появившиеся недавно “системы автоматического доказательства теорем” – программы-верификаторы, приводящие доказательства к некоему стандартному виду и проверяющие их на ошибки.

Раздел математики, известный своими чудовищно длинными доказательствами, – теория Рамсея. Суть ее в том, что при раскраске элементов любого множества в нем неизбежно появляется некоторый порядок. Одна из проблем теории Рамсея носит название “булева проблема пифагоровых троек”. В ней спрашивается, возможно ли каждое из положительных целых чисел покрасить либо в красный, либо в синий цвет таким образом, чтобы ни одна из пифагоровых троек (чисел a, b и c , удовлетворяющих условию a 2 + b 2 = c 2) не оказалась окрашена в один цвет. В мае 2016 года Марин Гейле, Оливер Кульман и Виктор Марек представили доказательство невозможности такой раскраски. Чтобы его получить, потребовалось два дня работы одного из самых быстродействующих компьютеров в мире, Stampede , расположенного в Техасском центре перспективных вычислительных систем, а объем файла с доказательством составил 200 терабайт. Чтобы просто с ним ознакомиться, человеку потребуется 10 миллиардов лет (примерно столько проживет суммарно наше Солнце), а чтобы проверить – и того больше. Впрочем, вполне вероятно, что в будущем нас ждут доказательства еще длиннее. Один из возможных претендентов на рекорд – теорема Рамсея для n = 5. Известно, что, как бы вы ни раскрасили в два цвета ребра графа с 49 вершинами, обязательно найдется пять таких вершин, что все соединяющие их ребра окажутся одного цвета. Известно также, что для 42 вершин это утверждение неверно. Но вот найти доказательство для минимального числа вершин, при котором это условие уже выполняется, – задача для математиков, вооруженных еще более мощными вычислительными системами.

Математика, вопреки бытующим представлениям о ней, – это бесконечное захватывающее путешествие в самые странные, невероятные и необжитые миры, в какие только может проникнуть человеческий разум. Она лишь притворяется скучной и приземленной, поскольку выросла из хорошо знакомого – из простых подсчетов и незатейливых фигур. Она начиналась как орудие купца, землепашца, строителя храмов и пирамид, помогала следить за временами года и наблюдать за небесными телами. Однако ничего приземленного в ней нет. Она пронизывает все аспекты реальности, куда мы погружены, и образует неосязаемую инфраструктуру, которая определяет поведение всего, что нас окружает, – от мельчайших частиц до Вселенной в целом.