Владимир Арнольд - Теория катастроф

Рис. 4. Четыре сборки проектирования тора на плоскость

Прозрачный тор редко где увидишь. Рассмотрим другое прозрачное тело — бутылку (предпочтительно из-под молока). На рис. 5 видны две точки сборки. Покачивая бутылку, мы можем убедиться, что сборка устойчива. Тем самым мы получаем убедительное экспериментальное подтверждение теоремы Уитни.

Рис. 5. Экспериментальная проверка теоремы Уитни

После основополагающей работы Уитни теория особенностей бурно развивалась, и сейчас это одна из центральных областей математики, в которой перекрещиваются пути, связывающие самые абстрактные разделы математики (дифференциальную и алгебраическую геометрию и топологию, теорию групп, порожденных отражениями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и т. д.). К. Зиман предложил называть совокупность теории особенностей и ее приложений теорией катастроф.

Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсюду должны встречаться и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображений общего положения, можно попытаться использовать эту информацию для изучения большого количества разнообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит вся сущность теории катастроф.

В случае, когда отображение, о котором идет речь, достаточно хорошо известно, имеется в виду более или менее прямое применение математической теории особенностей к различным явлениям природы. Такое применение действительно приводит к полезным результатам, например в теории упругости и в геометрической оптике (теория особенностей каустик и волновых фронтов, о которых мы еще будем говорить дальше).

Однако в большинстве работ по теории катастроф речь идет о куда более спорной ситуации, когда не только неизвестно изучаемое отображение, но и само его существование весьма проблематично.

Приложения теории особенностей в этих ситуациях носят характер спекуляций: чтобы дать о них представление, мы воспроизводим принадлежащий английскому математику К. Зиману пример спекулятивного применения теории Уитни к исследованию деятельности творческой личности.

Будем характеризовать творческую личность (например, ученого) тремя параметрами, называемыми "техника", "увлеченность", "достижения". По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, У, Д).

Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д. Для поверхности общего положения особенности — складки и сборки (по теореме Уитни). Утверждается, что сборка, расположенная так, как это изображено на рис. 6, удовлетворительно описывает наблюдаемые явления.

Действительно, посмотрим, как в этих предположениях будут меняться достижения ученого в зависимости от его техники и увлеченности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут расти скачком (такой скачок будет, например, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой 1 на рис. 6 в точке 2). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на рис. 6 словом "гении".

Рис. 6. Модель 'ученый' в пространстве 'техника — увлеченность — достижения'

С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соответствующим ростом техники, приводит к катастрофе (на кривой 3 в точке 4, рис. 6), при которой достижения скачком падают, и мы попадаем в область, обозначенную на рис. 6 словом "маньяки". Поучительно, что скачки из состояния "гений" в состояние "маньяк" и обратно происходят на разных линиях, так что при достаточно большой увлеченности гений и маньяк могут иметь равные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией).

Недостатки описанной модели и множества аналогичных ей спекуляций в теории катастроф слишком очевидны, чтобы о них говорить подробно. Отмечу только, что работы по теории катастроф отличает резкое, катастрофическое снижение уровня требований к строгости, а также к новизне публикуемых результатов. Если первое можно понять как реакцию на традиционный в математике поток строгих, но малоинтересных, эпигонских работ, то небрежное отношение катастрофистов к своим предшественникам (которым и принадлежит большинство конкретных результатов) вряд ли можно оправдать. Причина в обоих случаях скорее социальная, чем научная [2] "Я так думаю, голубушка, что декадентство это самое не что иное, как просто к купечеству подход". — В. М. Дорошевич. Рассказы и очерки (М., 1966. С. 295). .

В отличие от описанного выше примера, применения теории особенностей к исследованию бифуркаций положений равновесия в теории упругости безупречно обоснованы.

Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних нагрузках возможно несколько положений равновесия. Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, концы которой шарнирно закреплены, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза.

Наряду с положением равновесия, при котором линейка прогнута грузом, возможно также положение, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста.

При увеличении груза в некоторый момент происходит "катастрофа" или "хлопок": линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Для наглядной иллюстрации применений этого рода изобретен ряд приспособлений: одно из простейших, называемое машиной катастроф Зимана, изображено на рис. 7.

Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску (А) (см. рис. 7) и, вырезав из картона диск (В), прикрепить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вращаться. Другая игла (D) втыкается только в диск на его краю, а третья (Е) — только в доску. Чтобы закончить сборку машины, нужно еще две ленты из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (Н) и лист бумаги (I).