Владимир Арнольд - Теория катастроф

Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли В k, С k, F 4и особенности эволют // Успехи мат. наук. — 1978. — Т. 33, вып. 5. — С. 91 — 105.

Golubitsky M., Schaeffer D. A theory for imper feet bifurcation via singularity theory //Commun. Pure Appl. Math. 1979. — V. 32. — P. 21 — 98.

Pitt D. H., Poston T. Determinacy and unfolding in the presence of a boundary, 1978. (Мифический препринт, цитированный в 16-й главе КНИГИ Постона и Стюарта "Теория катастроф и ее приложения" (М.: Мир, 1980)).

Slodowy P. Simple singularities and simple algebraic groups. Berlin — Heidelberg — New York: Springer — Verlag, 1980. — 175 p. (Lect. Notes Math., v. 815).

Siersma D. Singularities of functions on boundaries, corners etc. // Q. J. Math. Oxf. 1981. — V. 32. — Ser. II. — P. 119 — 127.

Матов В. И. Особенности функций максимума на многообразиях с краем // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1981. — Т. 6. — С. 195 — 222.

Матов В. И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразиях с краем // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1981. — Т. 7. — С. 174 — 189.

Щербак И. Г. Двойственность краевых особенностей // Успехи мат. наук. — 1984. — Т. 39, вып. 2. — С. 207 — 208.

Щербак И. Г. Фокальное множество поверхности с краем и каустики групп, порожденных отражениями Вk, Сk и F4 // Функцион. анализ и его прил. — 1984. — Т. 18, вып. 1.- С. 90 — 91.

Щербак И. Г. Краевые особенности с простым разложением // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.- 1990,- Т. 15.

Nguyen buu Duc, Nguyen tien Dai. Stabilite de l'interaction geometrique entre deux composantes holonomes simples // С. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. — 1980. — V. 291. — P. 113 — 116.

Ильюта Г. Г. Монодромия и исчезающие циклы для краевых особенностей // Функцион анализ и его прил. — 1985. — Т. 19, вып. 3. — С. 11 — 21.

Группы H 3и Н 4:

Ляшко О. В. Классификация критических точек функций на многообразии с особым краем // Функцион. анализ и его прил. — 1983. — Т. 17, вып. 3. — С. 28 — 36.

Щербак О. П. Особенности семейств эвольвент в окрестности точки перегиба кривой и группа Н3, порожденная отражениями // Функцион. анализ и его прил. — 1983. — Т. 17, вып. 4. — С. 70-72.

Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении // Успехи мат. наук. — 1984. — Т. 39, вып. 5. — С. 256.

Arnold V. I. Singularities of ray systems // Proc. of the International Congress of Mathematicians, August 16 — 24, 1983. Warszawa. — North-Holland 1984. — V. 1. — P. 27 — 49.

Варченко A. H., Чмутов С. В. Конечные неприводимые группы, порожденные отражениями, являются группами монодромии подходящих особенностей // Функцион. анализ и его прил. — 1984. — Т. 18, вып. 3. — С. 1 — 13.

Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения // Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ. 1988. — Т. 33. — С. 55 — 112. — (Итоги науки и техники.)

Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений // Успехи мат. наук. — 1988. — Т. 43, вып. 3. — С. 125 — 160.

К добавлению

Более подробный анализ предшествовавших теории катастроф приложений ее идей имеется в статье:

Арнольд В. И. Теория катастроф. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — С. 219 — 277. — (Итоги науки и техники.)

где приведена и соответствующая библиография.

См. также:

Bennequin D. Caustique mystique // Seminaire N. Bourbaki. — 1984. — № 634. — P. 1 — 37.

Саати Т. Л. Математические модели конфликтных ситуации. — М.: Сов. радио, 1977. — С. 47 — 53.

То есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных.

"Я так думаю, голубушка, что декадентство это самое не что иное, как просто к купечеству подход". — В. М. Дорошевич. Рассказы и очерки (М., 1966. С. 295).

Под "типом" здесь понимается класс эквивалентности с точностью до диффеоморфизма плоскости, а не с точностью расслоенного диффеоморфизма (расслоенный диффеоморфизм — это семейство диффеоморфизмов фазового пространства, зависящих от параметра, сопровождаемых диффеоморфной заменой параметра).

Все перечисленные особенности классифицируются по типам A k, D k, о которых подробнее рассказано выше.

Первоначальное доказательство теоремы Уитни, о которой мы начали, занимало около 40 страниц; хотя окончательные геометрические результаты теории особенностей легко могут быть понятны и использованы, доказательства продолжают оставаться сложными.

Диффеоморфизм — это замена координат, гладкая вместе с обратной заменой.

Лагранжева эквивалентность двух лагранжевых особенностей — это отображение первого лагранжева расслоения на второе, переводящее первую симплектическую структуру во вторую и первое лагранжево подмногообразие во второе.

Достаточно взять уравнение (х — 1) ... (х — n) = 0; к приведенным рассуждениям остается добавить очень немного, чтобы получить вполне строгое доказательство "основной теоремы алгебры", по которой всякое уравнение степени n имеет n комплексных корней.

Между прочим, из топологических свойств тора (а именно из того, что пара меридианов делит тор на две части) следует, что периоды колебаний с одинаковой полной энергией в обеих ямах механической системы с потенциальной энергией четвертой степени одинаковы (на торической римановой поверхности множества уровня энергии — фазовые кривые обеих ям — разные меридианы).

Ситуация здесь в точности такая же, как с листом Мёбиуса. При непрерывном обходе вдоль осевой окружности листа Мёбиуса мы можем непрерывно отождествлять поперечные ей отрезки. Но когда мы впервые вернемся к исходному отрезку, полученное отождествление этого отрезка с самим собой будет менять местами его концы.