Владимир Арнольд - Теория катастроф

57. Нарисуйте множество негладкости функции

F (у) = min (min (х 4+ y 1x 2+ y 2), у 3)

и сравните с рис. 53.

58. Нарисуйте перестройку линий негладкости функции F (y 1, у 2, у 3) = min (y 1, y 2, у 1+ у 2), заданной в трехмерном пространстве-времени, на изохронах t = const, для функции времени t = у 1+ у 2± у 2 3и сравните с рис. 53.

59. Докажите,, что особенности поверхностей уровня общего положения функций максимума типичных n- параметрических семейств функций такие же, как особенности графиков функций максимума n — 1-параметрических семейств общего положения (причем множества меньших значений соответствуют надграфикам). В этой ситуации "хорошие" значения параметров те, в которых функция максимума меньше фиксированной константы (а "хорошие" значения константы — те, которые больше максимума),

60. Рассмотрим уравнение х + kх ± х = 0.

Определить, какие значения к отвечают сложенным фокусам, какие — сложенным узлам и какие — сложенным седлам на плоскости (х, Е = х 2+ х 2),

61. Найти поверхность, асимптотические линии которой образуют локально систему интегральных кривых сложенного фокуса (узла, седла).

62. Докажите, что интегральные кривые сложенного седла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки сепаратрисам, подходят к особой точке с противоположных сторон, а интегральные кривые сложенного узла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки выделенным фазовым кривым узла, подходят к особой точке с одной стороны,

63. Рассмотрим k-параметрическое семейство гладких гиперповерхностей в n-мерном линейном пространстве, снабженном проекцией на n — 1-мерное подпространство. Насколько негладким может оказаться видимый контур, если проектируемая поверхность выпукла, а семейство — общего положения?

64. Найти число модулей особенностей выпуклых оболочек типичных гладких поверхностей в четырехмерном пространстве и типичных гладких подмногообразий размерности 3 в пятимерном пространстве.

65. Плоская кривая, двойственная к кривой у = х 2+ х 5/2, диффеоморфна исходной кривой, а двойственная к диффеоморфной ей кривой у = х 5/2— нет.

66. Кривая, двойственная к типичной кривой с особенностью степени 5/2, имеет подобную же особенность.

67. Число (комплексных) особых точек типа 7 (см. рис. 64) на типичной алгебраической поверхности достаточно большой степени d равно 2d (d — 2) (11d — 24), а типа 5 — 5d (d — 4) (7d — 12).

68. Когда поверхность уровня типичной функции трех переменных приближается к поверхности критического уровня, в критической точке исчезают 24 (комплексные) точки типа 7 (рис, 64).

69. Эвольвента плоской кривой, проходящая через обыкновенную точку перегиба кривой, имеет в ней особенность типа 5/3.

70. Нарисуйте эвольвенты кубической параболы у = х 3.

71. Нарисуйте график (трехзначной) функции времени вблизи точки кубического перегиба ограничивающей препятствие кривой на плоскости.

72. Нарисуйте поверхность, образованную в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости элементами, касательными к эвольвентам плоской кривой, вблизи точки (кубического) перегиба этой кривой. Какие особенности имеет эта поверхность и какие — ее проектирование на плоскость (сопоставляющее каждому линейному элементу точку его приложения)?

73. Рассмотрим на поверхности препятствия функцию, равную сумме расстояния до цели (по прямой) и расстояния до некоторой начальной точки вдоль поверхности препятствия. Докажите, что кратности критических точек этой функции четны.

74. Уравнения С = ∫ x 0(t 3+ At + B) 2dt, x 3+ Ax + В = 0, определяют в пространстве с координатами (А, В, С) поверхность. Нарисуйте эту поверхность и исследуйте ее особенности (она локально диффеоморфна фронту пространственной задачи об обходе препятствия в точке, соответствующей сборке гауссова отображения пучка, и ее ребро возврата степени 5/2 имеет полукубическую точку возврата в начале координат).

75. Сколько симплектически неэквивалентных плоскостей размерности k имеет симплектическое пространство большей размерности? Докажите, что их число равно целой части k/2.

76. Полным флагом в линейном пространстве называется набор из последовательно вложенных друг в друга подпространств всех размерностей. Сколько симплектически неэквивалентных полных флагов имеет симплектическое пространство размерности 2n? Докажите, что их число равно (2n — 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... ·(2n — 1).

77. В пространстве однородных многочленов нечетной степени от двух переменных имеется симплектическая структура, инвариантная относительно естественного действия группы сохраняющих площади линейных преобразований плоскости; эта структура единственна (с точностью до ненулевого множителя). Найдите ее явное выражение через коэффициенты многочленов.

78. В каждом слое лагранжева расслоения имеется естественная локальная аффинная структура (избранный класс систем координат, в которых лагранжевы эквивалентности задают аффинные преобразования).

79. Докажите, что график преобразования Лежандра гладкой функции является фронтом (образом лежандрова отображения гладкого лежандрова многообразия),

80. Основания перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости не содержащей начала координат поверхности в евклидовом пространстве, образуют поверхность, называемую производной (исходная же поверхность называется первообразной для своей производной). Докажите, что особенности производных гладких поверхностей — лежандровы (т. е. что производная диффеоморфна фронту лежандрова отображения).

81 (продолжение). Докажите, что особенности первообразных гладких поверхностей — лежандровы. Нарисуйте первообразные эллипса на плоскости и эллипсоида в трехмерном пространстве.

82. Фронтом какого лежандрова отображения является эквидистанта гладкой поверхности в евклидовом пространстве?

83. Фронтом какого лежандрова отображения является график (многозначной) функции расстояния до данной гладкой поверхности в евклидовом пространстве?

84. Докажите, что в слоях лежандрова расслоения имеются естественные структуры локально проективных пространств (так что лежандровы эквивалентности, т. е. диффеоморфизмы, сохраняющие контактную структуру и структуру лежандрова расслоения, задают на слоях проективные преобразования).

85. Продолжим действие группы, порожденной отражениями плоскости в двух составляющих угол π/q зеркалах, на комплексную плоскость. Докажите, что ногообразие орбит само гомеоморфно комплексной плоскости, а многообразие нерегулярных орбит (орбит точек зеркал) — кривой z 2= ω qна плоскости двух комплексных переменных.