Владимир Арнольд - Теория катастроф

26. Составьте однопараметрическое семейство векторных полей на прямой, соответствующее бифуркациям рис. 13.

27. Мягко или жестко теряет устойчивость положение равновесия системы z = (iω + a) z + Cz | z | 2при прохождении вещественного параметра а через нуль? Сравните результат с рис. 16.

28. Задайте формулами бифуркацию рис. 21 (компоненты поля — многочлены степени 5).

29. Исследуйте потерю устойчивости цикла z = 0, | ω | = 1 системы

z = (а — 1 + i/2) z + (а + 1)zω ± ω (z + zω) 3,

w = iω + ω( 1 — | ω | 2)

при прохождении параметра а через нуль. Найдите приближенно ответвляющийся двукратный цикл и исследуйте его устойчивость. Сравните результаты с рис. 22.

30. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс p/q, q ≥ 5, z = εz + z | z | 2A (| z | 2) + z q-1при обходе малого комплексного числа ε вокруг нуля (А — комплексная функция общего положения). Сравните результаты с рис. 23,

31. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс 1:3, z = εz + Az | z | 2+ z 2при обходе комплексного параметра ε вокруг нуля (А — комплексное число общего положения).

32. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс 1:4, z = εz + Az | z | 2+ z 3, при обходе комплексного параметра ε вокруг нуля (на плоскости комплексного переменного А известно 48 областей, различающихся цепочками бифуркаций но не доказано даже, что число разных устойчивых цепочек конечно).

33. Исследовать затягивание потери устойчивости в системе z = (i + a) z — z | z | 2+ b при медленном изменении параметров а = εt, b =cεt.

34. Найти границу устойчивости семейства уравнений х + ах + bх = 0 на плоскости вещественных параметров (а, b).

35. Доказать, что граница устойчивости семейства уравнений х + ах + bх + сх = 0 диффеоморфна поверхности ω 2= u 2υ 2, u ≥ 0, υ ≥ 0.

36. Доказать, что граница устойчивости семейства уравнений z + Az + Bz = 0 в трехмерном пространстве Im А =2 диффеоморфна поверхности ω 2= uυ 2, u ≥ 0, υ ≥ 0.

37. Найти число типов особенностей границы устойчивости семейства общего положения линейных многомерных систем, зависящих от четырех параметров,

38. Исследовать особенности каустики (огибающей семейства нормалей) трехосного эллипсоида.

39. Исследовать особенности каустики — огибающей семейства геодезических на эллипсоиде, выходящих из одной точки.

40. Доказать, что каустика — огибающая семейства геодезических любой римановой метрики общего положения на сфере, выходящих из одной точки, имеет не менее четырех точек возврата.

41. Доказать, что объединение касательных прямых к кривой {(t 2, t 3, t 4)} диффеоморфно множеству многочленов х 4+ ах 2+ bх + с, имеющих кратные вещественные корни.

42. Доказать, что гладкая функция f (а, b, с), производная которой по а в начале координат отлична от нуля, приводится в окрестности начала координат к виду ± а + const гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост предыдущей задачи.

43. Доказать, что гладкое векторное поле, вектор которого в начале координат имеет ненулевую с-компоненту, приводится в окрестности начала координат к полю ± ∂/∂с (задающему систему а = 0, b = 0, с = ±1) гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост двух предыдущих задач.

44. Пусть большая каустика в трехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (q 1, q 2, q 3), при которых функция х 4+ q 1х 2+ сх имеет вырожденные критические точки. Нарисовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q 1± q 2 3.

45. Доказать, что функция времени общего положения приводится в окрестности каждой точки большой каустики предыдущей задачи, либо к виду t = q 3+ const, либо к виду t = ± q 1± q 2 3+ const сохраняющим эту большую каустику диффеоморфизмом пространства-времени.

46. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (q 1, q 2, q 4), при которых функция х 4+ q 1x 2+ q 2х имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q 1± q 2 3± q 2 4.

47. Нарисовать поверхность, образованную теми значениями параметра q, при которых функция х 2у ± у 3+ q 1y 2+ q 2y + q 3x имеет вырожденные критические точки.

48. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q, при которых функция х 2у + у 4+ q 1y 3+ q 2y 2+ q 3y + q 4x имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами различных функций времени общего положения.

49. Нарисуйте образ плоскости (u, ν) и ее разбиения на прямые u = const (или на кривые t = const, где ∂t/∂u ≠ 0) при отображении (u, ν) → (u 2, ν, uν) в трехмерное пространство. Сравните ответ с рис. 46 и с рис. 31.

50. Нарисуйте образ поверхности общего положения с полукубическим ребром возврата при отображении складывания трехмерного пространства (u, ν, ω) → (u, ν, ω 2) (предполагая, что касательная плоскость поверхности в точке трансверсального пересечения ребра возврата с плоскостью критических точек ω = 0 не содержит направления оси ω). Сравните ответ с рис. 46.

51. Нарисуйте поверхность у 2= z 3х 2и сравните ответ с рис. 46 и с предыдущей задачей.

52. Нарисуйте объединение касательных к кривой {(t, t 2, t 4)} и сравните с предыдущими задачами.

53. Докажите, что объединение касательных к прост ранственной кривой общего положения локально диффеоморфно поверхности у 2= z 3x 2в окрестности каждой точки, где кручение кривой обращается в нуль.

54. Определить плотность пылевидной тяготеющей одномерной среды на замкнутой кривой в фазовой плоскости так, чтобы при движении частиц эта кривая и эта плотность сохранялись ( указание : кривая q 2+ р 2+ | р | 3= 4/27).

55. Доказать, что при пролегании одномерного потока пылевидной среды, определяющего первоначально гладкое поле скоростей, над скоплением с коренной особенностью плотности (а (х, t) х -1/2θ(х) + b (x, t), где а и b — заданные гладкие функции, а ≠ 0, θ (х) = 0 при х < 0, 1 при х > 0) поле скоростей приобретает слабую особенность вида с (x, t) х 3/2θ (х); гладкой заменой переменных можно свести с к единице.

56. Рассмотрим N частиц в единичном кубе и окружим каждую из них шаром радиуса r. При каком минимальном r эти шары образуют связную цепь диаметра единица? Покажите, что радиус убывает как C/N для распределений частиц вдоль линий, как C/N 1/2для распределений вдоль поверхностей, как C/N 3/2для пространственных распределений (вычисляемая таким способом "размерность" крупномасштабного распределения галактик оказывается лежащей между 1 и 2).