Владимир Арнольд - Теория катастроф

86. Продолжим действие группы, порожденной отражениями в диагональных плоскостях х i= x jтрехмерного пространства х 1+ х 2+ х 3+ х 4= 0 на комплексное пространство. Докажите, что многообразие орбит — трехмерное комплексное пространство, а многообразие нерегулярных орбит — комплексный ласточкин хвост.

87. На рис. 81 изображена вещественная часть многообразия нерегулярных орбит действия группы симметрий икосаэдра на комплексном пространстве. Где располагаются вещественные орбиты?

88. Преобразования группы монодромии, заданные функцией х 3— εх + у 2, действуют на торе без точки, Докажите, что любую замкнутую несамопересекающуюся кривую на торе без точки, не стягиваемую на торе, можно перевести в любую другую такую кривую преобразованием из группы монодромии.

89. Сколько ручек имеет комплексная линия неособого уровня функции z n+ ω 2? Докажите, что их число равно g, если n = 2g + 1 или 2g + 2.

90. Степени преобразования комплексной плоскости в себя (z, ω) → (az, aω), a = e 2πi/q, образуют группу — бинарную группу g-угольника. Докажите, что все инвариантные относительно этой группы многочлены выражаются через X = z q, Y = ω q, Z = zω и что многообразие орбит совпадает с поверхностью XY = Z qв трехмерном комплексном пространстве. Докажите, что эта поверхность диффеоморфна нулевому множеству уровня простой функции A q-1трех комплексных переменных.

91. Докажите, что многообразие орбит действия бинарной группы тетраэдра (октаэдра, икосаэдра) на комплексной плоскости совпадает с поверхностью нулевого уровня функции Е 6(Е 7, Е 8) от трех комплексных переменных.

92. Набор проходящих через начало координат гладких подмногообразий называется простым, если все близкие наборы исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат). Найдите все простые наборы на плоскости и в трехмерном пространстве.

93. Критическая точка 0 гладкой функции f (x, у) называется простой краевой особенностью (на плоскости с краем х = 0), если все близкие функции исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат, сохраняющего прямую х = 0). Докажите, что простые критические точки функции двух комплексных переменных исчерпываются списком

В k= х k+ y 2(k ≥ 2); С k= ху + у k(k ≥ 3), F 4= x 2+ у 3

(уравнение края — х = 0),

Работы Тома, Мазера, Морена и др. собраны в сборнике пере водов: Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Мир 1968. — 268 с.

Обсуждаемые в предисловии статьи:

Тюрина Г. Н. Топологические свойства изолированных особенностей комплексных пространств коразмерности один // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1968. — Т. 32. — С. 605 — 620.

Nye J. F., Hannay J. Н. The orientation and distortion of caustics in geometrical optics // Optica Acta. — 1984. — V. 31, № 1. — P. 115 — 130.

Чеканов Ю. В. Каустики геометрической оптики // Функцион. анализ и его прил. — 1986. — Т. 20, вып. 3. — С. 66 — 69.

О гипотезе Тома:

Thom R. Topological models in biology // Topology. — 1969. V. 8. — P. 313 — 336.

Guckenheimer J. Bifurcation and Catastrophe // Proc. Internat. Sympos. in Dynamical Systems (Salvador, 1971) / Ed. M. Peixoto. — New York: Academic Press, 1973.

Xeсин Б. А. Бифуркация особых точек градиентных динамических систем // Функцион. анализ и его прил. — 1986. — Т. 20, вып. 3. — С. 94 — 95.

Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 33.- С. 113 — 155. — (Итоги науки и техники).

Монтель об особенностях:

Моntеl P. Sur les methodes recentes pour l'etude des singuliarites des fonctions analytiques // Тр. I Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930). — М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. — С. 36 — 57.

Обширная библиография имеется в следующих источниках:

Постон Т., Стюарт Й. Теория катастроф и ее приложения.- М.: Мир, 1980. — 608 с.

Арнольд В.И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. I. — М.: Наука, 1982.- 304 с. Т. II. — М,: Наука, 1984. — 336 с.

Zeeman Е. С., B.W.W. 1981 Bibliography on Catastrophe Theory. — Coventry: University of Warwick, 1981. — 73 p.

Арнольд В. И. Особенности систем лучей // Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 2. — С. 77 — 147.

Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, 1983. — Т. 22. — 244 с. — (Итоги науки и техники); 1988. — Т. 33. — 236 с. — (Итоги науки и техники).

Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — 284 с.; 1988. — Т. 6. — С. 256, 1989. — Т. 39. — С. 256.

Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. — М.: Мир, 1985. — 256 с.

Первая работа по теории особенностей:

Whitney Н. On singularities of Mappings of Euclidean Spaces I. Mappings of the Plane into the Plane // Ann. Math. — 1955. — V. 62. — P. 374 — 410.

Учебники:

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. — М.: Мир, 1977. — 208 с.

Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977. — 296 с.

Джилмор Р. Теория катастроф для ученых и инженеров. — М.: Мир, 1983.

Брюс Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. — М.: Мир, 1988.

Дискуссия о катастрофах:

Thom R. Topological models in biology // Topology. — 1969. — V. 8, № 3. — P. 313 — 335.

Thom R. Stabilite structurelle et morphogenese. — New York: Benjamin, 1972. — 362 p.

Thom R. Catastrophe Theory: Its present state and future perspectives // Dynamical Systems. Warwick, 1974. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1 — 75. — P. 366 — 372. Lecture Notes Math. V. 468.

Zeeman E. C. Catastrophe theory: a reply to Thom // Loc, cit. P. 373 — 383.

Zeeman E. C. Catastrophe theory: Selected Papers. 1972. — 1977. Addison-Wesley. Reading Mass. 1977.

Guckenheimer J. The Catastrophe Controversy // Math. Intell. 1978. — V. 1. — P. 15 — 20.

Fussbudget H. J., Znarler R. S. Sagasity theory. A. Critique // Math. Intell. — 1979. — V. 2. — P. 56 — 59.

Диссертация Пуанкаре:

Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles Paris.: G. V. 1879, Oeuvres de Henry Poincare, Tome I, Paris: Gauthier — Villars. 1951, XLIX — CXXIX.

Диссертация содержит, между прочим, теорему о версальных деформациях для нульмерных полных пересечений (лемма IV на стр. XI) и метод нормальных форм.

Работы Андропова по теории структурной устойчивости и теории бифуркаций были представлены уже в докладе:

Андронов А. А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзная конференция по колебаниям. — М.; Л.: ГТТИ, 1933. — С. 32 — 72; Андронов А. А. Соб. соч. М., 1956. — С. 85 — 124).

Его статья 1939 г. (совместная с Е. А. Леонтович) содержит исследование обоих типов бифуркации рождения цикла: локального (цикл рождается из положения равновесия) и нелокального (рождение цикла из петли сепаратрисы). См.:

Андронов А. А., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметров // Учен. зап. Горьковского гос. ун-та. — 1939. — № 6. — С. 3 — 24.

Андронов А. А., [Витт А. А.], Xайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1937 (в поздних изданиях указывается, что фамилия второго автора была пропущена "вследствие трагической ошибки").

Работы об экспоненциальном разбегании траекторий суммированы в: