Владимир Арнольд - Теория катастроф

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.

Наполеон критиковал Лапласа за "попытку ввести в управление дух бесконечно малых". Математическая теория перестроек — это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно.

Не требуется, однако, специальной математической теории, чтобы понять, что пренебрежение законами природы и общества (будь то закон тяготения, закон стоимости или необходимость обратной связи), падение компетентности специалистов и отсутствие личной ответственности за принимаемые решения приводит рано или поздно к катастрофе.

(здесь и далее переменная z — комплексная, х и у вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z → z 2, z → z 2+ εz.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) → (х 2+ ау, у 2+ bх)

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х = -х 3+ х + а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = εz — z 2z + Az 3, где A — фиксированное комплексное число, а комплексное число ε обходит вокруг нуля,

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х 5+ ... с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через а nчисло типов многочленов х n+1+... с n различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а 4) и составим функцию р (t) = Σa nt n/n!. Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что a nвыражаются через числа Бернулли при нечетных n и через числа Эйлера — при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов х 5+ ... область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и независимых переменных (х, у) функция приводится к виду u = х 2+ у 2.

9. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции n переменных в критической точке — невырожденная квадратичная форма. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и n независимых переменных (х, у) функция приводится к виду и = х 2 1+ . . . + х 2 k— у 2 1— . . . — y 2 1, k + l = n.

10. Докажите, что в критической точке аналитической функции двух переменных исчезают, как правило, 6 (комплексных) точек перегиба линии уровня,

11. Сколько точек сборки имеет отображение z → z 2+ εz?

12. Имеют ли точки сборки отображение (х, у) → (х 2+ ау, у 2+ bх)?

13. Докажите, что число точек сборки отображения (общего положения) сферы на плоскость четно.

14. Пусть на сфере дана функция, интеграл которой по сфере равен нулю и для которой нуль — не критическое значение. Существует ли гладкое отображение сферы на плоскость, все особенности которого — складки и которое имеет якобианом данную функцию?

15. Докажите, что отображение сферы на плоскость, все критические точки которого — складки и сборки, может иметь линией критических точек любую (непустую) гладкую кривую на сфере.

16. Предположим, что все критические точки гладкого отображения сферы на плоскость — складки и сборки и что число областей на сфере, где якобиан отображения положителен, равно а, а где он отрицателен — b. Докажите, что число сборок не меньше, чем 2 | а — b |.

17. Сопоставим каждому вектору нормали к эллипсу его конец. Докажите, что построенное отображение цилиндра на плоскость имеет четыре точки сборки.

18. Если заменить в задаче 17 эллипс несамопересекающейся кривой общего положения, то число точек сборки соответствующего отображения цилиндра на плоскость не меньше четырех.

19. Рассмотрим на эллипсе функцию "расстояние от точки эллипса до фиксированной точки плоскости", Критические точки таких функций образуют поверхность в трехмерном многообразии — прямом произведении эллипса на плоскость. Сколько сборок имеет проектирование этой поверхности на плоскость? Как выглядит множество критических значений проектирования?

20. Рассмотрим в пространстве функций на окружности множество всех функций, имеющих кратные критические значения. Лежит ли эта гиперповерхность в пространстве функций односторонне или двусторонне (т. е. можно ли ее снабдить трансверсальным направлением, меняющимся непрерывно вплоть до точек самопересечения и граничных точек)?

21. Рассмотрим параболический цилиндр, опирающийся образующей прямой на горизонтальную плоскость. При каких положениях центра тяжести цилиндра над точкой касания положение равновесия устойчиво, а при каких — нет? Исследуйте особенности границы области устойчивости.

22. Нарисуйте график функции

f (u, υ) = min (x 4+ uх 2+ υx).

23. При каких значениях параметров теряет устойчивость положение равновесия системы х — х (а + bх + cy), y = y(d + ex fy), для которого ху ≠ 0? Как выглядят фазовые кривые при этих значениях параметров?

24. Рассмотрим гладко зависящее от одного параметра векторное поле на прямой. Докажите, что гладкой заменой параметра и гладкой заменой координаты на прямой, гладко зависящей от параметра, такое поле общего положения приводится (в окрестности бифурцирующей особой точки) к полю, определяющему эволюционную систему х = х 2+ а + f (а) х 3, где f — гладкая функция, а — параметр (в аналитическом случае все замены можно сделать аналитическими).

25. Исследуйте поверхность равновесий зависящего от двух параметров семейства уравнений х = -х 3+ ах + b и особенности ее проектирования на плоскость параметров. Какая часть поверхности равновесий соответствует устойчивым положениям равновесия? Исследуйте поведение фазовой точки при медленном изменении параметров а (t), b (t).