Владимир Арнольд - Теория катастроф

Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому изменению начальных условий, в то время как усредненные характеристики режима устойчивы и не зависят от начального условия (при его изменении в некоторой области). Экспериментатор, наблюдающий за движением такой системы, назвал бы его турбулентным. По-видимому, неупорядоченные движения жидкости, наблюдаемые при потере устойчивости ламинарного течения с увеличением числа Рейнольдса (т. е. с уменьшением вязкости), математически описываются именно такими сложными аттракторами в фазовом пространстве жидкости. Размерность этого аттрактора, по-видимому, конечна при любом числе Рейнольдса (для двухмерных течений жидкости Ю. С. Ильяшенко, М. И. Вишик и А. В. Бабин недавно получили оценку этой размерности сверху величиной порядка Rе 4), но стремится к бесконечности при Re → ∞.

Рис. 20. Сценарий хаотизации

Переход от устойчивого состояния равновесия процесса ("ламинарного течения жидкости") к странному аттрактору ("турбулентности") может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости), так и после мягкой потери устойчивости (рис. 20). В последнем случае родившийся цикл сам теряет устойчивость. Потеря устойчивости цикла в общем однопараметрическом семействе систем возможна несколькими способами: 1) столкновение с неустойчивым циклом (рис. 21), 2) удвоение (рис. 22), 3) рождение или смерть тора (рис. 23) (в терминологии Андронова: с цикла слезает шкура ). Детали последних процессов зависят от резонансов между частотами движения вдоль меридиана тора и вдоль его оси, т. е. от того, будет ли отношение этих частот рациональным или иррациональным числом. Интересно, что рациональные числа со знаменателем 5 и больше ведут себя практически как иррациональные.

Рис. 21. Гибель аттрактора-цикла

Поведение фазовых кривых, близких к циклу, можно приближенно описывать при помощи эволюционнсго процесса, для которого цикл является положением равновесия. Возникающие таким образом приближенные системы на сегодняшний день исследованы для всех случаев, кроме случаев, близких к сильному резонансу с отношением частот 1 : 4 (Р. И. Богданов, Э. И. Хорозов). На рис. 24 изображены перестройки семейства фазовых кривых приближенной системы, соответствующие перестройкам расположения фазовых кривых в окрестности цикла; предполагается, что потеря устойчивости происходит вблизи резонанса 1 : 3. На рис. 25 изображена одна из возможных последовательностей событий вблизи резонанса 1 : 4. Основные результаты об этом резонансе получены не строгими математическими рассуждениями, а комбинированием догадок и вычислительных экспериментов на ЭВМ (Ф. С. Березовская и А. И. Хибник, А. И. Нейштадт).

Рис. 22. Удвоение цикла-аттрактора

Изложенная выше теория Пуанкаре — Андронова потери устойчивости состояний равновесия имеет так много приложений во всех областях теории колебаний (как систем с конечным числом степеней свободы, так и сплошных сред), что нет никакой возможности их здесь перечислить: механические, физические, химические, биологические и экономические системы теряют устойчивость на каждом шагу.

Рис. 23. Бифуркация рождения тора вблизи цикла

В работах по теории катастроф мягкая потеря устойчивости положения равновесия обычно называется бифуркацией Хопфа (отчасти по моей "вине", так как, рассказывая о теории Пуанкаре — Андронова Р. Тому в 1965 г., я особенно подчеркивал работу Э. Хопфа, перенесшего часть этой теории на многомерный случай).

Рис. 24. Бифуркация коразмерности 2 вблизи резонанса 1 : 3

В теории бифуркаций, как и в теории особенностей, основные результаты и приложения получены независимо от теории катастроф. Несомненной заслугой теории катастроф является введение термина аттрактор и широкая пропаганда знаний о бифуркациях аттракторов. Разнообразные аттракторы обнаружены теперь во всех областях теории колебаний; высказывалась, например, гипотеза, что различные фонемы речи — это различные аттракторы звукообразующей динамической системы.

Рис. 25. Вариант бифуркации коразмерности 2 вблизи резонанса 1 : 4

При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчивости (рис. 26).

Рис. 26. Затягивание потери устойчивости при динамической бифуркации

После того как параметр прошел через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла, т. е. мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрестности потерявшего устойчивость состояния равновесия еще некоторое время, за которое параметр успевает измениться на конечную величину. И лишь затем система скачком переходит на родившийся в момент бифуркации автоколебательный режим, так что потеря устойчивости кажется жесткой.

Интересно, что этот эффект — особенность динамической бифуркации — имеет место только в аналитических системах, В бесконечно-дифференцируемом случае величина затягивания потери устойчивости, вообще говоря, стремится к нулю при уменьшении скорости изменения параметра.

Затягивание в модельном примере описано Шишковой в 1973 г. Доказательство того, что это явление имеет место во всех типичных аналитических системах с медленно меняющимся параметром, было получено в 1985 г. А. И. Нейштадтом.

Рис. 27. Колебания численности популяции в простейших мальтузианской модели с учетом конкуренции

Известно, что улов горбуши колеблется с периодом два года. Исследование экологических моделей, призванных объяснить эти колебания, привело А. П. Шапиро (1974) и затем Р. Мея к экспериментальному открытию каскадов удвоений периода : последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой, так что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконечное число удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели мальтузианского размножения с конкуренцией — для отображения х → Ахе -х(рис. 27). Здесь множитель е -х, уменьшающий коэффициент мальтузианского размножения А при увеличении размера популяции х, учитывает конкуренцию. При малых значениях параметра А устойчива неподвижная точка х = 0 (популяция вымирает). При больших значениях А аттрактором последовательно становятся ненулевая неподвижная точка (бифуркация А 0), цикл периода 2, рис. 27, как для горбуши (бифуркация удвоения, А 1) периода 4 (А 2) и т. д. (рис. 28).