Владимир Арнольд - Теория катастроф

Рис. 28. Каскад удвоений периода

Анализируя этот экспериментальный материал, М. Фейгенбаум (1978) обнаружил замечательное явление универсальности каскадов удвоений. Последовательность значений параметра, соответствующих последовательным удвоениям, асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия. Знаменатель прогрессии

является универсальной (не зависящей от конкретной системы) постоянной, вроде чисел π или ε. Такие же каскады удвоений предельных циклов наблюдаются и в типичных эволюционных системах, описываемых зависящими от параметра дифференциальными уравнениями.

В отличие от удвоения периода, утроение является явлением коразмерности два. Каскады утроений (и других увеличений периода) становятся типичными не в однопараметрических, а в двупараметрических семействах систем. В этих случаях универсальные показатели оказываются комплексными.

В теории двупараметрических бифуркаций за последние годы достигнуты значительные успехи, в частности, Г. Жолондеком к 1987 г. решены давно стоявшие задачи о числе предельных циклов, рождающихся из нулевого положения равновесия в системах типа Лотка — Вольтерра (рис. 10), описываемых касающимися сторон угла векторными полями на плоскости.

Однако задача о бифуркациях в системе

z = εz + Az 2z + z 3,

к которой сводится исследование потери устойчивости автоколебаний в единственном оставшемся не исследованным случае коразмерности 2, все еще не поддается усилиям математиков. На плоскости комплексного параметра А выделено 48 областей (рис. 29), в которых бифуркации при обходе малого комплексного параметра ε вокруг нуля происходят по-разному. (Не доказано даже, что полное число таких областей конечно, хотя предполагается, что их всего 48.)

Рис. 29. Сорок восемь типов бифуркаций коразмерности 2 при резонансе 1 : 4

Еще недавно всякий экспериментатор, обнаружив, скажем, в химической реакции сложные апериодические колебания, отказывался от их исследования, ссылаясь на нечистоту эксперимента, случайные внешние воздействия и т. п. Сейчас уже многим ясно, что эти сложные колебания могут быть связаны с самим существом дела, могут определяться основными уравнениями задачи, а не случайными внешними воздействиями; они могут и должны изучаться наравне с классическими стационарными и периодическими режимами протекания процессов.

Рассмотрим положение равновесия системы, зависящей от нескольких параметров, и предположим, что (в некоторой области изменения параметров) это положение равновесия не бифурцирует.

Будем изображать систему, соответствующую какому-либо значению параметров, точкой на оси значений параметра (на плоскости, если параметров два, в пространстве параметров, если их три, и т. д.).

Изучаемая область в пространстве параметров разобьется тогда на две части в соответствии с тем, устойчиво или нет положение равновесия. Мы получаем таким образом на плоскости (в пространстве) параметров область устойчивости (составленную значениями параметров, при которых равновесие устойчиво), область неустойчивости и разделяющую их границу устойчивости .

Рис. 30. Типичная особенность границы двумерной области устойчивости

В соответствии с общей стратегией Пуанкаре (см. п. 5) мы ограничимся семействами систем, зависящих от параметров общим образом. Оказывается, граница устойчивости может иметь особенности, которые не исчезают при малом шевелении семейства.

На рис. 30 изображены все особенности границы устойчивости положений равновесия в общих двупараметрических семействах эволюционных систем (с фазовым пространством любой размерности), на рис. 31 — в трехпараметрических. Формулы на рисунках описывают область устойчивости (при подходящем выборе координат на плоскости или в пространстве параметров, вообще говоря, криволинейных).

Рис. 31. Типичные особенности границ трехмерных областей устойчивости

Заметим, что область устойчивости во всех случаях располагается "углами наружу", вклиниваясь "зияющими вершинами" в область неустойчивости . Таким образом, для системы, принадлежащей особой части границы устойчивости, при малом изменении параметров более вероятно попадание в область неустойчивости, чем в область устойчивости. Это проявление общего принципа, согласно которому все хорошее (например, устойчивость) более хрупко, чем плохое.

По-видимому, все хорошие объекты удовлетворяют нескольким требованиям одновременно , плохим же считается объект, обладающий хотя бы одним из ряда недостатков.

В случае четырех параметров к перечисленным выше особенностям границы добавляются еще две.

При увеличении числа параметров число типов особенностей границы устойчивости семейства общего положения быстро растет, однако, как доказал Л. В. Левантовский, оно остается конечным (с точностью до гладких замен параметров) при любом конечном числе параметров, сохраняется и принцип хрупкости.

Один из наиболее важных выводов теории особенностей состоит в универсальности нескольких простых образов вроде складки, сборки и точки возврата, которые должны встречаться повсеместно и которые полезно научиться распознавать. Кроме перечисленных особенностей, часто встречаются еще несколько образов, которые также получили собственные имена: "ласточкин хвост", "пирамида", "кошелек" и др.

Пусть в какой-либо среде распространяется некоторое возмущение (например, ударная волна, свет или эпидемия).

Для простоты начнем с плоского случая. Допустим, в начальный момент времени возмущение имелось на кривой а (рис. 32), и пусть скорость его распространения равна 1. Чтобы узнать, где будет возмущение через время t, нужно отложить по каждой нормали к кривой отрезок длины t. Получающаяся кривая называется волновым фронтом .